4.1.42. Решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим следующую систему, к которой всегда можно привести любую линейную систему первого порядка:
Обозначив через 
операцию дифференцирования, мы можем записать систему при помощи матричных обозначений:
или
Рассмотрим сначала случай, когда 
Пусть дано уравнение и поставлены начальные условия: 
при 
Тогда
Это интегральное уравнение может быть решено последовательным приближением (метод Пикара). Пусть 
оператор, определяющий операцию 
Имеем 
Подставляя это значение у в правую часть уравнения, последовательно получаем:
и т. д. В результате имеем
Этот ряд быстро сходится.
Аналогично поступим с матричным уравнением
Начальные условия: 
в момент времени 
Интегральное уравнение задачи имеет вид
Решая это уравнение последовательным приближением, получим
Обозначим через 
оператор, определенный следующим образом: 
Назовем его оператором интегрирования. Результат операции 
произведенной над матрицей 
равен
Мы можем достаточно долго продолжать вычисления, чтобы обеспечить любую наперед заданную точность.
Итак, решение системы имеет вид
Заметим, что с помощью оператора интегрирования можно сразу же; написать
Если дифференцировать 
по 
то находим
Если элементы матрицы 
постоянные, то
так как в этом случае
