1.2.9. Комплексный вектор.
Рассмотрим вектор 
, синусоидально зависящий от времени. Его проекции на три оси прямоугольных координат равны
Амплитуды 
и фазы 
не зависят от времени, а только от координат х, у, z.
Проекции 
вектора а являются синусоидальными скалярными величинами — вещественными частями комплексных чисел
Комплексные числа
можно рассматривать как координаты комплексного вектора 
отнесенного к комплексному пространству.
Комплексный вектор 
сопряженный с вектором А, имеет следующие проекции на оси координат:
Для векторов, имеющих синусоидальную зависимость от времени, комплексный вектор играет роль, аналогичную той, которую играют комплексные токи и напряжения для токов и напряжений, синусоидально зависящих от времени.
Вещественная часть вектора 
это вектор 
, а мнимая его часть — вектор а 
отстоящий по фазе на 
от а
Если разделить вещественные и мнимые части комплексного вектора 
его можно представить в виде
Очевидно,
Вектор а вращается в плоскости, определенной двумй вещественными векторами 
с угловой скоростью 
Конец вектора а описывает эллипс, причем 
два его сопряженных полудиаметра. Векторы 
соответственно представляют собой положения, занимаемые вектором а в начальный момент времени и в момент 
Преимущество использования комплексных векторов при расчетах с синусоидальными векторами заключается в том, что время 
выпадает из вычислений, так же как это имело место с комплексными токами и напряжениями. Точно так же комплексные векторы удобно использовать при подстановке в линейные уравнения.
Возьмем для примера уравнение Максвелла:
Синусоидальным векторам 
соответствуют комплексные векторы и При этом уравнение Максвелла получит вид
Если ввести комплексную диэлектрическую постоянную
то
Следовательно, использование комплексных величин упрощает расчеты с векторами, имеющими синусоидальную зависимость от времени, аналогично тому как оно упрощает расчеты с токами и напряжениями, синусоидально зависящими от времени.
Основные определения и векторные операции (скалярное и векторное умножение, операции 
легко обобщаются на комплексные векторы.
