1.2.9. Комплексный вектор.
Рассмотрим вектор
, синусоидально зависящий от времени. Его проекции на три оси прямоугольных координат равны
Амплитуды
и фазы
не зависят от времени, а только от координат х, у, z.
Проекции
вектора а являются синусоидальными скалярными величинами — вещественными частями комплексных чисел
Комплексные числа
можно рассматривать как координаты комплексного вектора
отнесенного к комплексному пространству.
Комплексный вектор
сопряженный с вектором А, имеет следующие проекции на оси координат:
Для векторов, имеющих синусоидальную зависимость от времени, комплексный вектор играет роль, аналогичную той, которую играют комплексные токи и напряжения для токов и напряжений, синусоидально зависящих от времени.
Вещественная часть вектора
это вектор
, а мнимая его часть — вектор а
отстоящий по фазе на
от а
Если разделить вещественные и мнимые части комплексного вектора
его можно представить в виде
Очевидно,
Вектор а вращается в плоскости, определенной двумй вещественными векторами
с угловой скоростью
Конец вектора а описывает эллипс, причем
два его сопряженных полудиаметра. Векторы
соответственно представляют собой положения, занимаемые вектором а в начальный момент времени и в момент
Преимущество использования комплексных векторов при расчетах с синусоидальными векторами заключается в том, что время
выпадает из вычислений, так же как это имело место с комплексными токами и напряжениями. Точно так же комплексные векторы удобно использовать при подстановке в линейные уравнения.
Возьмем для примера уравнение Максвелла:
Синусоидальным векторам
соответствуют комплексные векторы и При этом уравнение Максвелла получит вид
Если ввести комплексную диэлектрическую постоянную
то
Следовательно, использование комплексных величин упрощает расчеты с векторами, имеющими синусоидальную зависимость от времени, аналогично тому как оно упрощает расчеты с токами и напряжениями, синусоидально зависящими от времени.
Основные определения и векторные операции (скалярное и векторное умножение, операции
легко обобщаются на комплексные векторы.