2.1.11. Распространение ряда Фурье на почти периодические функции.

Рассмотрим функцию представляющую собой сумму периодических функций с периодами соответственно. Если периоды соизмеримы между собой или, иначе говоря, они являются целыми кратными некоторого числа то это и будет периодом функции . В противном случае функция не периодична.

Однако если разложить функции в ряды Фурье и просуммировать эти ряды, то мы получим разложение вида

Оно внешне походит на разложение в ряд Фурье, но это не ряд Фурье, потому что множители коэффициенты при не целые кратные одного числа.

Попробуем вычислить коэффициенты Рассмотрим ряд Фурье некоторой периодической функции

Согласно формуле (14) коэффициент равен среднему значению функции по периоду, но он равен также среднему значению функции по бесконечному интервалу:

Мы можем, следовательно, вычислить не зная периода функции Точно так же, заметив, что соотношения (12) и (13) являются не чем иным, как средними значениями по периоду функций мы получим коэффициенты из соотношений

Таким образом, коэффициенты разложения в ряд Фурье функции можно вычислить и не зная периода этой функции. Это наводит на мысль, что коэффициенты ( получаются из соотношений

Можно, впрочем, определить эти коэффициенты и не зная значений Действительно, коэффициенты определяются как те числа, для которых интегралы

отличны от нуля, когда изменяется от нуля до бесконечности. Если рассматривать сумму

как равномерно сходящийся ряд периодических функций, то функция будет называться почти периодической. Она может быть разложена в ряд, очень похожий на ряд Фурье.

Численный расчет коэффициентов ряда Фурье изложен в гл. X, посвященной численным и графическим методам