10.5.7. Формула Грегори.

Когда функция известна эмпирически, можно составить таблицу разностей. Если в формулу Эйлера ввести значения производных, выраженйых по формулам (48) через разности, то мы получим после некоторых вычислений формулу Грегори:

Пример. Вычислить . Таблица разностей составленная в п. 10.3.3, дает

Замечание. Нетрудно вычислить первообразную для функции

но, несмотря на это, вычисление интеграла посредством нахождения первообразной

гораздо более громоздко и (если пользоваться таблицами арктангенсов и логарифмов с невысокой точностью) дает менее точные результаты, чем прямой подсчет по таблице разностей и формуле Грегори.

Формула Грегори использует разности, помещенные на нисходящей и восходящей диагоналях таблицы разностей, имеющих начало в Пользуясь при вычислении, подобном предыдущему, выражениями для последовательных производных, данными формулами (50), и произведя подстановку в формуле Эйлера, получаем формулу интегрирования. Она образуется с помощью разностей, находящихся по обе стороны от горизонтальных строк таблицы разностей, имеющих начало в

Пример. Требуется вычислить Берем таблицу косинусов, приведенную в п. 10.3.3. Интервал 2°, выраженный в радианах,

равен 0,0349066. Формула трапеций дает

Ограничимся вычислением первого поправочного члена из-за неправильного поведения третьих разностей. Этот поправочный член равен 0,00005076, откуда

Обращаем внимание на превосходное приближение, полученное несмотря на краткость таблицы.