5.1.5. Матричная форма формул преобразования координат.

Используя матричную форму, можно конкретизировать и упростить формулы преобразования координат для наиболее важных тензоров — тензоров первой и второй валентностей.

Пусть а — матрица преобразования координат:

Для контравариантного вектора имеем

где суммирование происходит по нижнему индексу, означающему номер строки. Изменяя этот индекс, мы перемещаемся в матрице а вдоль

столбца. Рассматриваемая формула имеет обычный вид произведения двух матриц (см. рис. 4.4), если ввести матрицу а, транспонированную по отношению к а; матричная формула преобразования контравариантного вектора имеет вид

Рассмотрим формулу преобразования для ковариантного вектора:

Так как индекс суммирования представляет, собой номер столбца для матрицы а и номер строки для одностолбцовой матрицы то матрица представляет собой произведение матрицы а на матрицу Формула преобразования ковариантного вектора в матричной форме принимает вид:

Рассмотрим случай дважды ковариантного тензора. Имеем

В слагаемом

индекс суммы представляет собой номер столбца для матрицы а и номер строки для матрицы т. е. суммирование идет вдоль строки с номером I матрицы а и вдоль столбца с номером матрицы Следовательно, речь идет об элементе произведения матриц В формуле

индекс суммы представляет собой номер столбца и для матрицы А, и для матрицы а. Следовательно, речь идет о произведении матрицы А на матрицу, транспонированную по отношению к а. Таким образом, матричная формула преобразования для дважды ковариантного тензора имеет вид

Для дважды контравариантного тензора имеем

Рассуждение, подобное предыдущему, позволяет получить для него следующую матричную формулу преобразования:

Наконец, для смешанного тензора имеем

а в матричной форме

Замечание. Из приведенных формул не следует делать вывод, что квадратная матрица является тензором, так же как нельзя заключить, что совокупность двух чисел есть вектор на плоскости. Матрицы — это просто таблицы чисел или символов, никак не зависящие от преобразования системы координат. Тензором квадратная таблица чисел является только в том случае, если она состоит из компонент тензора.

Можно сказать, что тензор второй валентности представляет собой в некоторой системе координат матрицу, элементы которой подчиняются законам преобразования, свойственным компонентам тензора.

Рис. 5.1.

Аналогично тому, как элементы матриц

представляют собой координаты вектора в двух системах координат, причем свойства и существование этого вектора не зависят от системы координат, также и матрицы

содержат компоненты тензора второй валентности в двух системах координат. Свойства и существование этого тензора также не зависят от системы координат.

Аналогичное рассуждение применимо и к тензорам более высоких валентностей.

Тензор третьей валентности представляется в некоторой системе координат кубической матрицей (рис. 5.1). Она разлагается на квадратных матриц, которые можно получить, разрезав куб на слои в соответствии с каким-нибудь из индексов.

Тензор четвертой валентности может быть представлен набором из кубических матриц или из квадратных матриц и т. д.

Для тензора любой валентности можно получить общие формулы преобразования в матричной форме, используя матрицы а, а и обратные им. В формулу преобразования для -валентного тензора входят матриц

преобразования, которые должны быть соответствующим образом выбраны из набора матриц:

Описанные свойства тензоров по аналогии с химией позволяют называть порядок тензора валентностью.