7.9. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА

7.9.1. Определение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Положим или Получаем

Эти уравнения допускают соответственно следующие два линейно независимых решения:

Отсюда находим линейно независимые решения уравнения (213):

Функции называются соответственно функциями Чебышева первого и второго рода порядка.

Функция представляет собой полином. Действительно, при имеем

Отсюда

При имеем

что приводит для к тому же соотношению (218а).

Полином называется полиномом Чебышева первого рода. Если при помощи формулы бинома разложить выражение (218а), то найдем

Последний член в квадратных скобках равен

Функции Чебышева второго рода могут быть представлены следующими формулами:

если где полином степени от со. Выражение для будет

Последний член в квадратных скобках равен

Полином равный называется полиномом Чебышева второго рода.

Отметим, что эти же результаты можно легко получить, если применить к дифференциальному уравнению метод, указанный в п. 6.2.10 (искать

решение в виде обобщенного степенного ряда). Первые одиннадцать полиномов следующие:

(см. скан)

7.9.2. Графики ...

Если мы вернемся к формуле (214), то легко увидим, что график полинома Чебышева в интервале представляет собой проекцию синусоиды с периодом — и амплитудой единица, обвитой вокруг цилиндра вращения с радиусом единица, на плоскость, параллельную оси цилиндра (см. рис. 7.56), Один из максимумов или минимумов синусоиды находится в плоскости, параллельной плоскости проекции и проходящей через ось цилиндра. Изучаемая проекция представляет собой частный случай кривых Лиссажу. Каждая точка кривой является проекцией двух точек, симметрично расположенных на цилиндре. Это соответствует тому, что согласно (218а) функцию можно представить как полусумму проекций двух комплексно сопряженных точек. На рис. 7.56 изображен полином представляющий собой проекцию шести периодов синусоиды, обвитой вокруг цилиндра.

На рис. 7.57 приведены графики шести первых полиномов Чебышева. Они выходят из для отрицательных и очень больших колеблются раз между абсциссами и ординатами и быстро возрастают для

(кликните для просмотра скана)

Если синусоида, обвитая вокруг цилиндра, помещена на нем таким образом, что одна из ее нулевых точек находится на плоскости, проходящей через ось цилиндра параллельно плоскости проекции, то ее проекцией будет кривая . В области внешней по отношению к интервалу функция будет вещественна, только если произвести здесь замену определения, перейдя внутри вне интервала Первые шесть функций представлены на рис. 7.58.