2.1.5. Случай, когда разложение в ряд Фурье ограничено первыми n членами.

Дана функция определенная в интервале ( и тригонометрический ряд, который оборван на первых членах. Коэффициенты ряда произвольны. Мы можем спросить себя, какими должны быть эти коэффициенты, чтобы сумма первых членов тригонометрического ряда представляла наилучшим образом функцию в рассмотренном интервале. Пусть сумма первых членов тригонометрического ряда равна

Определим выражение для коэффициентов ряда так, чтобы величина средняя квадратичная ошибка, которую мы делаем, заменяя на в интервале от до была минимальной. Для этого нужно коэффициенты выбрать так, чтобы

Обратимся к коэффициенту Он определяется из уравнения

Это дает нам

откуда получаем

Следовательно, разложение в ряд Фурье не только точно представляет функцию при неограниченном числе членов, но и обеспечивает наименьшую среднюю квадратичную ошибку по сравнению с любым тригонометрическим рядом по если эти ряды обрывать на произвольном конечном числе слагаемых. Замечательно, что при увеличении числа членов в конечной тригонометрической сумме все прежние коэффициенты сохраняют свой вид.

Замечание. Рассуждения остаются точно такими же, если речь идет о разложении в ряд по произвольной системе ортогональных функций Это означает, что мы получим наилучшее представление функции в виде ограниченного ряда по ортогональным функциям, если коэффициенты разложения определим по формуле (8). И здесь при увеличении числа членов в конечной сумме прежние коэффициенты сохраняют свой вид.

Рис. 2.5.