5.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
5.3.1. Градиент.
Рассмотрим скалярную функцию 
. Компоненты градиента определяются формулой
Вектор градиент ковариантен, так как полный дифференциал 
это
инвариант, равный
5.3.2. Ротор (вихрь).
Если а — ковариантный вектор, зависящий от координат произвольной точки, то компоненты ротора от векторной функции а определяются формулами
откуда 
Следовательно, ротор а — это дважды ковариантный антисимметричный тензор (в трехмерном пространстве ротор можно уподобить осевому вектору).
5.3.3. Дивергенция.
Рассмотрим формулу (см. п. 3.3.4)
где через 
обозначена масса, вытекающая в единицу времени из бесконечно малого объема 
плотность жидкости, 
вектор скорости.
Необходимо уточнить природу величин, входящих в эту формулу, установленную для пространства, отнесенного к прямоугольной системе координат, чтобы затем можно было обобщить ее на пространство, отнесенное к произвольным криволинейным координатам. Вектор V контравариантен. Произведение элемента объема 
(скалярная емкость) на плотность 
представляет собой массу (чистый скаляр). Следовательно, 
скалярная плотность. Поэтому произведение 
будет векторной плотностью. Произведение дивергенции на элемент объема представляет собой массу. Следовательно, дивергенция будет скалярной плотностью.
Таким образом, операция дивергенции приложима не к вектору, а к векторной плотности а. Результат представляет собой скалярную плотность
5.3.4. Лапласиан (оператор Лапласа).
Лапласиан — это скаляр, определяемый как дивергенция градиента скалярной функции 
Градиент скалярной функции — это ковариантный вектор. Но, как мы сейчас видели, дивергенция приложима к векторной плотности, т. е. к произведению скалярной плотности на контравариантный вектор.
Фундаментальный метрический тензор позволяет получить градиент в контравариантной форме:
Соответствующая векторная плотность по оси 
будет
Следовательно,
Так как должен получиться чистый скаляр, то достаточно умножить полученное выражение на 
Тогда
Не следует забывать, что 
это абсолютное значение определителя 
Мы получили выражение для лапласиана в наиболее общей системе криволинейных координат.
