3.4.2. Дифференциальные операторы в ортогональных криволинейных координатах.

Пусть и скалярная и векторная функции точки. Найдем выражения для в системе ортогональных криволинейных координат, заданных уравнениями (70).

Рассмотрим малый криволинейный параллелепипед, построенный на осях координат проходящих через точку (рис. 3.25). Используя формулы (72) и (73), нетрудно показать, что проекция вектора на направление касательной в точке к дуге равна Следовательно, имеют место формулы:

Чтобы вычислить выражение для дивергенции вектора А, мы воспользуемся формулой (49), применяя ее к элементарному объему в криволинейной системе координат.

Разность между поверхностными интегралами по поверхности и поверхности равна

Аналогичное выражение получится и для остальных пар противолежащих граней. Таким образом,

Применяя формулу Стокса к поверхности можно определить проекцию вектора на направление касательной к оси и. Линейные интегралы вектора А вдоль с точностью до бесконечно малых высшего порядка соответственно равны

причем значения проекций А и локальных длин вычислены в точке (рис. 3.25). Сумма этих интегралов равна произведению составляющей

на площадь поверхности т. е.

С помощью круговой перестановки цифр 1, 2, 3 и букв находим:

Отметим, что проекции можно определить по формулам (72) и (73).

Положим в Имеем