3.1.13. Векторное произведение.
Векторным произведением двух векторов 
называют вектор с, длина которого равна 
и который перпендикулярен обоим векторам с и 
причем векторы 
и с расположены положительно.
Векторное произведение обозначают так: 
Замечание. Если ни один из векторов с и 
не равен нулю, то выражение 
означает, что линии действия векторов параллельны, так как 
Модуль вектора с численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах, эквиполентных 
проведенных через любую точку О пространства.
Это замечание позволяет дать более наглядное определение векторного произведения. Пусть 
два вектора. Проведем через точку О векторы 
и 
эквиполентные с и 
(рис. 3.9). Тогда векторное произведение с векторов с и 
будет определяться следующим образом.
Модуль вектора с равен числу, измеряющему площадь параллелограмма 
Линия действия этого вектора перпендикулярна плоскости 
а направление его таково, что поворот на угол, не превышающий 
совмещающий 
происходит в положительном относительно с направлении.
Рис. 3.9.
Использование векторного произведения двух векторов 
и 
позволяет легко определить алгебраическую площадь треугольника 
Ориентируем плоскость 
иначе говоря, выберем в этой плоскости положительное направление вращения. Алгебраическая площадь треугольника 
равна половине алгебраической длины векторного произведения 
отсчитанной вдоль оси, перпендикулярной плоскости 
и ориентированной таким образом, чтобы выбранное направление вращения было для нее положительным (см. п. 3.1.4).
Векторное произведение в декартовых координатах. Так как вектор с 
перпендикулярен плоскости 
а модуль его равен площади параллелограмма 
то проекция векторного произведения с на 
равна площади проекции параллелограмма на 
Следовательно,
По аналогии находим
т.е.
Это выражение можно записать в более симметричной форме:
Перечислим основные свойства векторного произведения.
Эта операция антикоммутативна, т. е. 
. В самом деле, обе тройки векторов 
образуют противоположно расположенные трехгранники (см. п. 3.1.5).
Далее, векторное произведение не ассоциативно. Действительно, равенство 
вообще говоря, неверно, так как направления векторов, записанных в левой и правой частях этого соотношения, отличаются друг от друга. Однако векторное произведение — операция дистрибутивная, т. е. справедлива формула
Эта формула равносильна соотношению
Замечание 1. Векторные произведения ортов координатных осей соответственно равны: 
Замечание 2. Момент вектора а относительно точки О равен векторному произведению 
Здесь 
вектор, имеющий начало в точке О, а конец — в любой точке на линии действия вектора а.
