3.1.12. Скалярное произведение.
Скалярное произведение двух векторов
это число, равное произведению трех величин
и
оно обозначается через а
Легко заметить, что скалярное произведение коммутативно: а
а и дистрибутивно:
Вопрос об ассоциативности скалярного произведения отпадает, так как формула
с не имеет смысла; кроме того, очевидно, неверно равенство
Замечание 1. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно,
следовательно,
Рис. 3.8.
Замечание 2. Пусть
ориентированная ось, а и — единичный вектор этой оси (рис. 3.8). Тогда скалярное произведение любого вектора с на и равно проекции вектора а на ось
Замечание 3. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату модуля этого вектора:
Замечание 4. Если через
обозначить единичные векторы осей координат, то
Скалярное произведение в декартовых координатах. Пусть.
соответственно проекции на оси
векторов
Имеем
Учитывая дистрибутивность скалярного произведения и замечание 4, получим
Замечание 5. Используя формулу (5) и определение скалярного произведения, получим выражение для косинуса угла между двумя векторами
через проекции этих векторов: