3.1.12. Скалярное произведение.

Скалярное произведение двух векторов это число, равное произведению трех величин и оно обозначается через а

Легко заметить, что скалярное произведение коммутативно: а а и дистрибутивно:

Вопрос об ассоциативности скалярного произведения отпадает, так как формула с не имеет смысла; кроме того, очевидно, неверно равенство

Замечание 1. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, следовательно,

Рис. 3.8.

Замечание 2. Пусть ориентированная ось, а и — единичный вектор этой оси (рис. 3.8). Тогда скалярное произведение любого вектора с на и равно проекции вектора а на ось

Замечание 3. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату модуля этого вектора:

Замечание 4. Если через обозначить единичные векторы осей координат, то

Скалярное произведение в декартовых координатах. Пусть. соответственно проекции на оси векторов Имеем

Учитывая дистрибутивность скалярного произведения и замечание 4, получим

Замечание 5. Используя формулу (5) и определение скалярного произведения, получим выражение для косинуса угла между двумя векторами через проекции этих векторов: