ГЛАВА II. РЯД ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

2.1. РЯД ФУРЬЕ

2.1.0. Введение.

Рассмотрим функцию вещественной переменной х, определенную в каждой точке промежутка [ Предположим, что в этом промежутке функция удовлетворяет следующим условиям (так называемым условиям Дирихле):

1) всюду однозначна, конечна и кусочно-непрерывна,

2) имеет ограниченное число максимумов и минимумов.

(Например, функции и не удовлетворяют соответственно условиям 1 и 2 в промежутке, содержащем точку ) В таком случае можно представить функцию в рассматриваемом промежутке в виде ряда

Здесь независимые от х коэффициенты. Этот ряд называется рядом Фурье функции Он сходится к во всех точках непрерывности функции и к значению

в точках разрыва функции а. Это среднее арифметическое значение двух предельных ординат, и его естественно принять за значение функции в точке разрыва.

2.1.1. Вычисление коэффициентов.

Исходными здесь будут следующие соотношения:

Действительно,

Отсюда для первого интеграла при найдем

При имеем

Подобными же элементарными расчетами легко убедиться в справедливости соотношений (2) и (3).

Умножим обе части формулы для ряда Фурье на и проинтегрируем от 6 до Тогда

Согласно соотношениям (1), (2) и (3) все интегралы справа равны нулю, кроме

который равен Поэтому

Аналогичный расчет дает