7.5.18. Асимптотические выражения для бесселевых функций при больших значениях аргумента.

Асимптотические разложения (63) — (66) легко позволяют определить, предельные выражения для бесселевых функций при очень больших значениях аргумента z. Если z вещественно и бесконечно возрастает, то стремится к единице, к нулю. Следовательно, бесселевы функции получат следующие асимптотические выражения;

где Эти формулы показывают, что имеется аналогия между бесселевыми и круговыми функциями, а также между функциями Ханкеля и экспоненциальными функциями от чисто мнимого аргумента.

Из формул (72) видно, что бесселевы функции стремятся к нулю, если z вещественно и бесконечно возрастает. Если же комплексное число и только его мнимая часть бесконечно возрастает, то дело обстоит иначе. Действительно, пусть Тогда

где

При очень большом имеем

Это выражение бесконечно возрастает вместе с То же имеет место и для Для функций Ханкеля оказывается, что когда одна из них стремится к нулю, модуль другой бесконечно возрастает. Это объясняет, почему необходимо было дополнить бесселевы функции функциями Ханкеля. С помощью последних легко сформулировать граничные условия для общего интеграла уравнения (13), когда комплексная переменная z обладает бесконечно возрастающей мнимой частью.