ГЛАВА VII. НАИБОЛЕЕ УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

7.0.1. Асимптотическое разложение.

Рассмотрим, вообще говоря, расходящийся ряд

Сумму первых его членов обозначим (частная сумма). Согласно Пуанкаре, ряд представляет собой асимптотическое разложение функции в определенной области изменения если при таких z выражение

удовлетворяет условию

даже если при этом

Запишем эту связь между рядом и функцией в виде

Согласно определению асимптотического разложения, отсюда следует, что для любого положительного сколь угодно малого при достаточно больших z (при фиксированном ) имеет место

Покажем на примере, как с помощью расходящегося асимптотического разложения функции можно приближенно подсчитать ее численные значения. Пусть функция определена равенством

Повторным интегрированием по частям найдем

Рассмотрим ряд. частная сумма которого равна

В данном случае Имеем

так как оба интеграла, входящие в эти соотношения, положительны. Значит,

Если х бесконечно возрастает, то при фиксированном стремится к нулю. Следовательно, представляет собой частную сумму асимптотического разложения Соответствующий ряд расходится при любом х, так как нарушается необходимый признак сходимости.

Используем этот расходящийся ряд для вычисления Тогда общий член разложения равен он убывает по абсолютной величине от до а затем растет до бесконечности. По доказанному выше,

Поэтому за приближенное значение выгодно принять Тогда соответствующая ошибка будет меньше

Следующая таблица и рис. 7.1 показывают последовательное убывание и возрастание частных сумм рассматриваемого асимптотического разложения:

Если в определенной области изменения z функция допускает асимптотическое разложение, то это разложение определяется единственным образом.

Рис. 7.1.

Действительно, полагая в условии существования асимптотического разложения последовательно получаем

Напротив, две различные функции могут иметь одно и то же асимптотическое разложение. Классический пример представляют собой две функции, отличающиеся на при Действительно, коэффициенты асимптотического разложения вычисленные с помощью полученных выше формул, тождественно равны нулю.

Пусть существуют асимптотические разложения функций :

Тогда справедливы следующие теоремы:

1. Общий член асимптотического разложения равен

Общий член асимптотического разложения произведения функций равен

Замечание. Если то можно делить на асимптотическое разложение

3. Если функция разложима в степенной ряд, сходящийся при то асимптотическое разложение функции

получается непосредственной подстановкой в степенной ряд асимптотического разложения (при условии

4. Если допускают асимптотические разложения, то асимптотическое разложение получается почленным дифференцированием асимптотического разложения

5. Если (т. е. ), то асимптотическое разложение получается почленным интегрированием асимптотического разложения

Замечание. Иногда функция не имеет асимптотического разложения, однако существует такая функция что отношение допускает асимптотическое разложение. Тогда можно написать

Произведение называется главным членом асимптотического представления