1.4.3. Последовательные отображения.

Рассмотрим два отображения, связывающие между собой три точки плоскостей комплексных переменных

Исключив переменную V из этих двух соотношений, получаем зависимость

которая устанавливает непосредственное соответствие между точкой плоскости и точкой плоскости z. Следовательно, можно сложные отображения разложить на последовательно применяемые более простые отображения.

Пример 1. Дано отображение устанавливающее соответствие между точкой и вещественной точкой а также между кривой у и мнимой осью плоскости Известно что поле, созданное заряженным проводом, имеющим след в точке несушим линейный 3 заряд и проходящим на расстоянии параллельно бесконечной плоскости, следом которой является мнимая ось плоскости V, описывается преобразованием

И если прямая со следом в на плоскости z находится перед заряженной цилиндрической поверхностью, поперечное сечение которой представляет собой кривую у, то линейный заряд несомый этой прямой, создает электростатическое поле, силовые и эквипотенциальные линии которого могут быть найдены с помощью преобразования

Пример 2. Даны две цилиндрические поверхности, поперечные сечения которых в плоскости z представляют собой кривые С и . Пусть отображение, переводящее кривые соответственно в отрицательную и положительную части вещественной оси плоскости Рассмотрим отображение

Положив имеем

Положительная часть вещественной оси плоскости V соответствует значению т. е. полной вещественной оси плоскости Отрицательная часть вещественной оси плоскости V соответствует значению т. е. прямой, параллельной вещественной оси плоскости и проходящей от нее на расстоянии

Следовательно, полное преобразование

отображает кривые С и у на две прямые Значение К на С равно значение У на у равно нулю. Таким образом, с помощью найденного преобразования можно определить конфигурацию силовых и эквипотенциальных линий электростатического поля, созданного двумя цилиндрами (поперечные сечения их представляют собой кривые разности потенциалов между ними, равной