Частный случай ортогональных криволинейных координат

Мы видели, что в случае ортогональных криволинейных координат можно связать тензорное исчисление с векторным и что определения компонент вектора неодинаковы. Поэтому если мы хотим использовать в векторных обозначениях различные дифференциальные операторы, то следует изменить соответствующим образом полученные выше формулы.

Обозначим через а компоненты, используемые в векторном исчислении, а через А — компоненты того же вектора, применяемые в тензорном исчислении. Мы видели, что эти различные компоненты связаны соотношением

Покажем, как изменятся формулы для дифференциальных операторов применительно к компонентам вектора, используемым в векторном исчислении.

5.3.5. Градиент.

Как уже было отмечено, составляющие вектора градиента равны

Следовательно, согласно формулам (6),

5.3.6. Ротор.

Аналогичным образом получим для компонент ротора

5.3.7. Дивергенция.

Дивергенция, которая представляет собой скалярную плотность, становится чистым скаляром, если умножить ее на Общая формула этой скалярной дивергенции в произвольных криволинейных координатах имеет вид

В трехмерных ортогональных криволинейных координатах получим

Формула для скалярной дивергенции преобразуется к виду

Вводя обычные для векторного исчисления компоненты, будем иметь

5.3.8. Лапласиан.

Так как лапласиан есть чистый скаляр, так же как и функция V, то не требуется рассматривать вопрос о разнице в обозначениях, и мы можем вычислять лапласиан в ортогональных криволинейных координатах для трехмерного пространства, исходя из общей формулы

Здесь

Следовательно,