5.2.2. Фундаментальный метрический тензор.

Пусть дано пространство, в котором мы можем определить расстояние между двумя бесконечно близкими точками. Если оси ортогональны, то, например, в трехмерном пространстве имеем

Если система координат косоугольная, то

В более общем виде

где

Так как величина инвариантна при любом преобразовании координат, то — элементы дважды ковариантного тензора второй валентности. Тензор называется фундаментальным метрическим тензором.

Обозначим через определитель, составленный из элементов Пусть алгебраическое дополнение элемента Определитель можно записать в виде

Первое выражение — это разложение определителя по элементам I-й строки, второе — его разложение по элементам столбца. Кроме того,

так как при получается определитель, имеющий две одинаковые строки, и

так как при получается определитель, имеющий два одинаковых столбца. Если положить

то - дважды контравариантный тензор, потому что

Определитель тензора равен обратной величине определителя тензора