Применение формулы обращения
8.3.22. Теорема Меллина — Фурье.
Мы видели (п. 1.3.15), что единичная ступень может быть выражена интегралом
Контур интегрирования представляет собой
вещественную ось с маленькой полуокружностью (рис. 8.12),
Рис. 8.12.
Рис. 8.13.
Положим 
Тогда
При этом контур интегрирования представляет собой мнимую ось с маленькой полуокружностью, как показано на рис. 8.13. Он может быть заменен любым другим контуром 
соединяющим точки 
и расположенным справа от мнимой оси. Действительно, согласно теореме Коши, так как между мнимой осью и 
функция не имеет особых точек, мы можем написать
Рис. 8.14.
Контур 
может быть, в частности, прямой, параллельной мнимой оси с положительной абсциссой с (контур Бромвича). Следовательно,
Установив это, рассмотрим функцию 
изображенную на рис. 8.14. Повторив рассуждения, сделанные при выводе формул (1) — (6), мы можем разложить эту функцию на ступеньки:
Если устремить это выражение к пределу, бесконечно уменьшая промежутки 
ступенчатая кривая будет стремиться к кривой 
и тогда
Заменим в этой формуле 
выражением (82). Получим
или
Отсюда, пользуясь формулой преобразования Лапласа, найдем
т. е.
Мы получили формулу обращения. Ее называют формулой Меллина — Фурье.
Рассмотрим функцию 
Это изображение 
определенное формулой преобразования Карсона. Имеем
Таким образом, 
неявно выраженная интегральным уравнением
дается в явном виде формулой (83) через интеграл по простому контуру в плоскости комплексной переменной 
Если этот интеграл равен нулю вдоль бесконечной полуокружности, находящейся слева от контура 
то его вычисление сведется к простому вычислению вычетов при условии, что особые точки являются полюсами или существенно особыми точками. Если же особые точки являются точками разветвления, то это вычисление сведется к интегрированию по эквивалентному контуру.
Формулы (83) и (84) эквивалентны. Можно применять любую из них. Нужно, однако, заметить, что формула (83) более общая, чем формула (84), и может дать результат, даже если формула Лапласа приводит к расходящемуся интегралу.
В качестве примера найдем с помощью формулы (83) некоторые выражения, уже полученные раньше с помощью формулы Лапласа,
Пример 1. Найдем оригинал 
целое положительное число).
Формула обращения (83) дает
Из первого примера п. 1.3.19 известно, что значение этого интеграла 
Мы снова находим уже известное выражение
Пример 2. Требуется найти оригинал 
Применим теорему обращения. Искомый оригинал 
имеет вид
Вычисление (см. п. 1.3.12) дает 
а Это приводит к уже известному выражению 
