4.1.31. Условия коммутативности двух матриц.

Даны две матрицы Предположим, что их характеристические уравнения содержат лишь простые корни. Если матрицы коммутируют, то

Пусть собственный вектор а, представленный одностолбцовой матрицей и. Тогда

Преобразуем вектор и с помощью матрицы Имеем

Соотношение показывает, что вектор, представленный матрицей также является собственным вектором матрицы а с тем же собственным значением Он параллелен вектору и, так как корни характеристического уравнения матрицы а простые. Можно поэтому написать

Последнее равенство показывает, что — собственный вектор и матрицы

Итак, если Две матрицы коммутируют, то у них одинаковые собственные направления.

Докажем и обратное. Даны две матрицы имеющие одинаковые собственные направления. Если принять эти направления за оси координат, то обе матрицы получают вид

Так как обе они Диагональны, то они, очевидно, коммутируют.

Нетрудно показать, что это свойство сохранится и в первоначальной системе координат.