3.2.16. Скалярный потенциал.

Любая векторная функция точки вихрь которой тождественно равен нулю, может рассматриваться как градиент некоторой скалярной функции точки

Действительно, пусть вихрь вектора равен нулю, т. е.

(см. скан)

откуда

Для доказательства достаточно положить

Используя получим

Таким образом, если то можно найти такую скалярную функцию что

и обратно, если

то

Это очевидно, так как в рассматриваемом случае а согласно формуле

Следовательно, для того чтобы данное векторное поле а являлось градиентом некоторой скалярной величины необходимо и достаточно обращение в нуль вихря а, т. е. выполнение равенства

Итак, если то существует такая скалярная функция что Если при этом функция V однозначна, то она называется скалярным потенциалом, а про вектор а говорят, что он равен производной от скалярного потенциала Из равенства и формулы (29) следует:

Рис. 3.13.

Такое поле векторов а называется потенциальным, ньютоновым, слоистым или безвихревым. Эти названия напоминают, что поле всемирного тяготения относится к рассматриваемому типу полей, что эти поля могут быть разложены с помощью поверхностей уровня на слои и что Отметим, что стационарное электрическое поле равно производной от скалярного потенциала.