Некоторые примеры применения бесселевых функций
7.5.37. Колебание однородной тяжелой нити, подвешенной за один конец.
В качестве первого применения бесселевых функций естественно привести именно этот пример, так как впервые бесселева функция 
была найдена Даниелем Бернулли в 1732 г. при изучении колебаний однородной
тяжелой нити. Разумеется, современное название и подробное описание обширное семейство бесселевых функций получило лишь много времени спустя, ибо только в 1824 г. Бессель, исследуя вопросы, связанные с возмущением движения планет, детально изучил свойства этих функций.
Итак, дана гибкая тяжелая нить длиной I единиц, подвешенная за конец А (рис. 7.27). В состоянии покоя она свободно висит вдоль вертикали 
На практике модель совершенно гибкой нити можно осуществить, пользуясь цепью с достаточно мелкими звеньями. Выведем нить из положения равновесия, сместив конец ее В налево и попробуем найти закон, описывающий перемещения нити, ограничиваясь небольшими плоскими колебаниями. Примем 
за ось 
а прямую, которую конец В очертит при малом смещении, за ось 
Пусть 
масса нити на единицу длины, а 
две бесконечно близкие точки. В каждой точке нити действует натяжение 
обусловленное весом, горизонтальная составляющая которого будет
Рис. 7.27.
Горизонтальная составляющая силы, действующей на элемент длины нити 
будет равна приращению величины 
при переходе от 
к 
На единицу длины нити эта сила будет равна
На высоте х приближенно имеем 
отсюда
Сила инерции на единицу длины равна Уравнение движения по горизонтали будет
Ограничимся синусоидальными функциями времени вида 
Тогда
Чтобы вычислить общий интеграл этого уравнения, достаточно положить 
или же, проще, сравнить его с уравнением (91). Решение (92) получает в этом частном случае вид
Так как решение должно иметь конечное значение для 
то
При 
(в точке подвеса) имеем 
Следовательно, величина 
корень функции 
Пусть 
будет одним из корней уравнения 
. Имеем
Так как корней бесчисленное множество, последнее равенство определяет бесконечное количество видов возможных нормальных колебаний нити.
Рис. 7.28.
На рис. 7.28 изображены несколько первых видов этих колебаний. Смещения нарисованы с большим увеличением для того, чтобы с большей наглядностью показать формы, принимаемые нитью.
