Основные формулы

Пусть — замкнутая поверхность, ограничивающая объем переменная точка (или на поверхности определенный выше вектор, направленный по внешней нормали к поверхности Пусть, далее, скалярная и а — векторная функции точки Предполагается, что они непрерывны вместе со своими первыми производными в любой точке объема и его границы 5.

Справедливы следующие три формулы, заменяющие тройной интеграл двойным:

1) формула для градиента

2) формула для дивергенции (теорема Остроградского)

3) формула для вихря

3.3.3. Теорема Остроградского.

Теорема Остроградского — это теорема, выраженная формулой (49): интеграл от дивергенции а, распространенный на объем равен потоку вектора а, направленному по внешней нормали через замкнутую поверхность ограничивающую этот объем

Правая часть формулы (49) в декартовых координатах имеет вид

Рассмотрим интеграл и в объеме с помощью четырех плоскостей вырежем параллелепипед. На поверхности указанные плоскости вырезают два криволинейных четырехугольника и площади которых обозначим через (рис. 3.15).

Рис. 3.15.

Пусть точки этих четырехугольников, и внешние нормали к поверхности орты которых соответственно

Нормаль образует с осью тупой угол нормаль образует с осью острый угол Имеем

Пусть значения Интеграл распространенный на элемент объема равен

но

Векторы и совпадают с векторами введенными в предыдущем пункте, если считать, что направление внешней нормали положительно.

Следовательно, имеем

откуда

Тройной интеграл распространяется на объем z, а двойной интеграл на поверхность

Повторяя приведенные рассуждения для покажем, что