Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Пусть — замкнутая поверхность, ограничивающая объем переменная точка (или на поверхности определенный выше вектор, направленный по внешней нормали к поверхности Пусть, далее, скалярная и а — векторная функции точки Предполагается, что они непрерывны вместе со своими первыми производными в любой точке объема и его границы 5.
Справедливы следующие три формулы, заменяющие тройной интеграл двойным:
1) формула для градиента
2) формула для дивергенции (теорема Остроградского)
3) формула для вихря
3.3.3. Теорема Остроградского.
Теорема Остроградского — это теорема, выраженная формулой (49): интеграл от дивергенции а, распространенный на объем равен потоку вектора а, направленному по внешней нормали через замкнутую поверхность ограничивающую этот объем
Правая часть формулы (49) в декартовых координатах имеет вид
Рассмотрим интеграл и в объеме с помощью четырех плоскостей вырежем параллелепипед. На поверхности указанные плоскости вырезают два криволинейных четырехугольника и площади которых обозначим через (рис. 3.15).
Рис. 3.15.
Пусть точки этих четырехугольников, и внешние нормали к поверхности орты которых соответственно
Нормаль образует с осью тупой угол нормаль образует с осью острый угол Имеем
Пусть значения Интеграл распространенный на элемент объема равен
но
Векторы и совпадают с векторами введенными в предыдущем пункте, если считать, что направление внешней нормали положительно.
Следовательно, имеем
откуда
Тройной интеграл распространяется на объем z, а двойной интеграл на поверхность