8.5.8. Применение операционного исчисления к разложению в асимптотический ряд.
Рассмотрим функцию
и ее изображение
Между этими двумя функциями имеется соотношение
Предположим, что функция
голоморфна в полуплоскости
находящейся справа от вертикальной прямой с абсциссой
за исключением некоторого числа особых точек, находящихся на вертикали с абсциссой
Пусть
эти особые точки. Если они являются точками разветвления, то можно написать вблизи них
при
Если
обозначает радиус сходимости рядов, входящих в (139), то следует предполагать условие
Если
стремится к нулю при у, стремящемся к бесконечности по своим положительным или отрицательным значениям между двумя абсциссами
таким образом, что интеграл
сходится, то можно показать, что при
Формула (140) дает искомый асимптотический ряд.
Примечания. Коэффициенты
не входят в окончательную формулу (140), кроме первого
Если точка
простой полюс, а не точка разветвления, в формуле (139) второй ряд исчезает, а коэффициент
равен вычету, относящемуся к точке
Если все точки разветвления
сводятся к единственной точке, находящейся в начале и вызванной наличием
то
Отсюда получим асимптотический ряд
Эта формула была предложена Хевисайдом и называется иногда "третьим правилом Хевисайда".
Пример. Вернемся снова к примеру II. 8.3.23. Найдем асимптотический ряд функции
изображением которой будет
В этом примере мы сначала находили оригинал функции (142) и из него выводили асимптотический ряд. Воспользуемся только что найденными результатами, чтобы получить этот ряд непосредственно. Можно написать
Отсюда
и
Получаем ряд