3.4.12. Система софокусных поверхностей второго порядка (система общих эллипсоидальных координат).
Рассмотрим семейство софокусных поверхностей второго порядка
зависящих от одного параметра 
Через каждую точку пространства с координатами (х, у, z) проходят три поверхности указанного типа. В самом деле, при любых фиксированных х, у, z относительно 
получается уравнение третьей степени. Все три корня этого уравнения 
вещественны и подг чиияются неравенствам
Отсюда следует, что через каждую точку пространства проходят эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды. Эти поверхности попарно ортогональны, т. е. три величины 
определяют ортогональную кривот линейную систему координат.
Определим зависимость между координатами 
. С этой целью рассмотрим тождество
Приравнивая 
последовательно 
получим выражения для 
вида
Если координатам 
и придать приращения 
то, учитывая взаимную ортогональность координатных поверхностей, найдем единицы локальной длины:
