10.7. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

10.7.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Способ изоклин.

Дано дифференциальное уравнение Решив его относительно у, получаем

Будем предполагать, что однозначная функция х и у, имеющая конечные первые производные по х и у. Геометрическое место точек плоскости, в которых интегральные кривые имеют крутизну (т. е. тангенс угла наклона касательной), равную это, очевидно, кривая

Рис. 10.13.

Ее называют изоклиной. Если построить изоклины легко (в противном случае способ не представляет интереса), можно начертить на плоскости несколько изоклин соответствующих крутизнам

Пусть точка с координатами (начальные условия) и пусть

- крутизна интегральной кривой, проходящей через эту точку; ближайшая изоклина (рис. 10.13). Требуется найти точку пересечения интегральной кривой с изоклиной Известно, что крутизна интегральной кривой в точке есть Поэтому мы заменим участок интегральной кривой на прямолинейный отрезок с крутизной, имеющей среднее значение

Проведя через прямую с такой крутизной, найдем точку как пересечение этой прямой с изоклиной Потом проведем через прямую с крутизной и в пересечении ее с изоклиной найдем точку

Гладкая кривая I, проведенная через точки будет приближать искомую интегральную кривую. При этом ломаная вписана в Описанную ломаную получим, проведя через точки прямые с крутизнами касательные к

Полезно получить некоторые сведения о форме пучка интегральных кривых, облегчающие его построение.

Место точек перегиба. На каждой изоклине может находиться точка, в которой интегральная кривая касательна к ней. В такой точке крутизна интегральной кривой, равная удовлетворяет уравнению справедливому для крутизны изоклины. Поэтому в такой точке

Так как на интегральной кривой то в рассматриваемой точке т. е. интегральная кривая имеет перегиб при условии, что отлично от нуля, чтобы имела место перемена знака кривизны).

Таким образом, О есть уравнение места точек перегиба интегральных кривых.

В случае, если дифференциальное уравнение не разрешено относительно производной место точек перегиба получается исключением из уравнений и

Место точек возврата. Положим, что пучок изоклин имеет огибающую. Тогда уравнение этой огибающейможно получить, исключив из уравнения изоклин Изоклины, касательные к огибающей, находятся вблизи нее с одной ее стороны. Интегральные кривые, проходящие вблизи огибающей, не могут ее пересечь, и в большинстве случаев точка, общая с огибающей, является для них точкой возврата.

Если изоклины имеют двойную точку, то в этой точке интегральная кривая возвращается с той же крутизной. Следовательно, это точки, где интегральные кривые касательны сами к себе. Если это имеет место, то уравнения

совместимы, и исключение дает искомое место.

Асимптоты. Если пучок интегральных кривых имеет общую асимптоту, то при бесконечном возрастании х предел и будет один и тот же.

Заменим в дифференциальном уравнении у на на Тогда

Если при бесконечно возрастающем х величина полученная из этого уравнения, имеет пределом то прямая асимптота, если значение полученное из

при бесконечно возрастающем х имеет конечный предел Если же предыдущее уравнение не зависит от х, те прямая входит в пучок интегральных кривых. Это особое решение, которое обычно входит в огибающую пучка.

Пример. Дано

В той части плоскости, где интегральных кривых нет. Через точку, где проходят две интегральные кривые, крутизны которых противоположны.

Рис. 10.14.

Пучок интегральных кривых симметричен по отношению к осям

1. Изоклины. Это гиперболы

2. Место точек перегиба. Из исключают Тогда

Дважды продифференцировав дифференциальное уравнение, получаем

Условие не влечет за собой Следовательно, кривая и есть место точек перегиба.

3. Для изоклин нет огибающих.

4. Место точек возврата. Исключим из Тогда получим иначе говоря, биссектрисы осей координат. Здесь изоклины не имеют двойных точек. Значит, кривая есть место точек возврата.

5. Уравнение горизонтальной касательной к интегральной кривой — это Следовательно, в точках возврата касательная горизонтальна.

6. Асимптоты. Имеем Иначе говоря, . Если х стремится к бесконечности, то стремится к Подставляем Тогда

Когда х стремится к бесконечности, стремится к 0. Следовательно, асимптоты, общие для пучка интегральных кривых, так как не удовлетворяют тождественно данному дифференциальному уравнению.

На рис. 10.14 пунктиром изображены изоклины, точечным пунктиром — место точек перегиба и сплошными линиями — несколько интегральных кривых.

Замечание. Если функция у не фигурирует в дифференциальном уравнении, то его можно записать в виде

При этом изоклины представляют собой параллели к оси Способ изоклин дает возможность графически осуществить квадратуру, т. е. начертить одну из кривых

где а — произвольная постоянная, каждому значению которой соответствует отдельная интегральная кривая. Эти кривые получаются одна из другой простым перемещением вдоль оси