8.3.17. Изображения бесселевых функций целого порядка.

Будем исходить из классического определения бесселевой функции первого рода целое число)

или

Изображение этой функции дается формулой преобразования Лапласа:

Проинтегрируем сначала

Положим откуда Если обозначить через С окружность единичного радиуса с центром в начале координат, то интеграл принимает такой вид:

Интегрируемая функция имеет только один полюс, находящийся внутри окружности С, а именно

Следовательно, интеграл равен удвоенному вычету относительно этого полюса:

Отсюда

Если в соотношении (62) заменить на пользуясь формулой (22) изменения масштаба, и принять во внимание определение бесселевых функций мнимого аргумента то

Далее мы увидим что формулы (62) и (63) имеют общий характер и применяются в случае, когда индекс - не целое число. Способом, подобным предыдущему, можно легко вывести формулу

Сейчас мы установим некоторые соотношения, полезные при изучении распространения электрических возмущений вдоль линии передач:

Рассмотрим функцию Дадим х приращение и произведем разложение в ряд Тейлора:

Вычислим последовательные производные Для этого положим Тогда

Но, согласно свойствам бесселевых функций, мы имеем рекуррентное соотношение (п. 7.5.28)

Следовательно,

Возвращаясь к переменной х, находим

Отсюда делается совершенно очевидной формула

Поэтому

Если положить получим

Введя в это выражение изображение полученное из (63), находим

Отсюда вытекает и формула (65). Если к выражению применить теорему запаздывания (формула (34)), получим формулу (66). Заменим в на на Тогда

Положим, что и применим теорему смешения. Имеем

Положим

Отсюда

и мы имеем

Разделим правую часть (68) на Тогда

Умножив формулу (69) на и сложив ее почленно с (68), получим искомую формулу (67).