8.3.17. Изображения бесселевых функций целого порядка.
Будем исходить из классического определения бесселевой функции первого рода
целое число)
или
Изображение этой функции дается формулой преобразования Лапласа:
Проинтегрируем сначала
Положим
откуда
Если обозначить через С окружность единичного радиуса с центром в начале координат, то интеграл принимает такой вид:
Интегрируемая функция имеет только один полюс, находящийся внутри окружности С, а именно
Следовательно, интеграл равен удвоенному вычету относительно этого полюса:
Отсюда
Если в соотношении (62) заменить
на
пользуясь формулой (22) изменения масштаба, и принять во внимание определение бесселевых функций мнимого аргумента
то
Далее мы увидим
что формулы (62) и (63) имеют общий характер и применяются в случае, когда индекс
- не целое число. Способом, подобным предыдущему, можно легко вывести формулу
Сейчас мы установим некоторые соотношения, полезные при изучении распространения электрических возмущений вдоль линии передач:
Рассмотрим функцию
Дадим х приращение
и произведем разложение в ряд Тейлора:
Вычислим последовательные производные
Для этого положим
Тогда
Но, согласно свойствам бесселевых функций, мы имеем рекуррентное соотношение (п. 7.5.28)
Следовательно,
Возвращаясь к переменной х, находим
Отсюда делается совершенно очевидной формула
Поэтому
Если положить
получим
Введя в это выражение изображение
полученное из (63), находим
Отсюда вытекает и формула (65). Если к выражению
применить теорему запаздывания (формула (34)), получим формулу (66). Заменим в
на
на
Тогда
Положим, что
и применим теорему смешения. Имеем
Положим
Отсюда
и мы имеем
Разделим правую часть (68) на
Тогда
Умножив формулу (69) на
и сложив ее почленно с (68), получим искомую формулу (67).