5.1.15. Установление типа тензора.

Предположим, что нам встретилась величина, представленная совокупностью из элементов, зависящих, например, от трех индексов, которые меняются от 1 до каждый. Мы не знаем, является ли эта совокупность элементов тензором и если да, то какова его вариантность, иначе говоря, положение его индексов. Обозначим рассматриваемую величину через где индексы, которые мы пока заключаем в скобки, так как еще не имеем возможности разместить их должным образом.

Попробуем произвести свертывание произведения этой величины на три вектора (так как имеется только три индекса). Если мы найдем, что в результате свертывания произведения

получился инвариант по отношению к любому преобразованию координат, то величина представляет собой дважды ковариантный и один раз контравариантный тензор

Действительно, произведем произвольное преобразование координат. Так как при свертывании произведения получается инвариант, то

Но

Следовательно,

что указывает на тензорный характер величины и дает его вариантность.

Пример. Перемещение точки представляет собой контравариантный вектор Какова вариантность силы?

Известно, что величина это совершенная силой работа, следовательно, скаляр. В правой части равенства стоит свернутое произведение силы на контравариантный вектор. Следовательно, сила представляет собой ковариантный вектор.