9.1.29. Эмпирические формулы.

Пусть физическая величина, зависящая от другой величины х. Изобразим в плоскости точки, представляющие собой пары значений соответствующие некоторой таблице измерений. Если эти точки расположены достаточно близко одна от другой, то через них можно провести непрерывную кривую, представляющую экспериментальную функцию

Часто задача состоит в том, чтобы придать функции аналитическую форму. Во многих случаях для этой цели выбирают полином вида

или показательную функцию

Выбор этот в большинстве случаев диктуется теоретическими соображениями и тесно связан с измеряемым явлением. Мы не будем здесь рассматривать вопрос о выборе вида функции.

Пусть, например, измеряется ток насыщения z диода как функция абсолютной температуры х катода. Из теоретических соображений следует, что этот ток, отнесенный к единице поверхности катода, связан с абсолютной температурой зависимостью

После того как аналитическая форма функции выбрана, остается определить наиболее подходящие значения параметров функции с помощью таблицы результатов произведенных измерений.

Разберем сначала случай, когда выбранная функция представляет собой полином. Эта задача решается очень просто элементарным методом, дающим превосходные практические результаты. Пусть количество измерений степень полинома. Таблица измерений позволяет получить линейных уравнений с неизвестными, которыми являются коэффициенты Предположим, что

В большинстве случаев число гораздо больше, чем так что количество уравнений больше количества неизвестных. Предположим, что оно равно Тогда измерений делят на группу по измерений в каждой. Затем уравнений каждой группы складывают и получают, таким образом, линейных уравнений с неизвестными, которые можно решать обычным способом. Существенное возражение против этого простейшего метода состоит в том, что существует способов группирования уравнений в группу по . Это возражение, теоретически значительное, не имеет значения на практике, так как результаты, которые можно получить при различном группировании уравнений, очень мало отличаются друг от друга.

Рассмотрим общий случай. Пусть выражение

представляет собой аналитическую форму выбранной эмпирической зависимости. Число неизвестных постоянных меньше числа сделанных измерений. Предположим, что постоянные определены. Тогда должно существовать отклонение измеренной величины от величины вычисленной при найденных значениях постоянных

причем принцип наименьших квадратов требует, чтобы выражение

было наименьшим.

Предположим, что методом эмпирического подбора или путем замеров на экспериментальной кривой нам удалось найти более или менее удовлетворительные значения Мы можем воспользоваться способом наименьших квадратов для нахождения малых величин на которые отличаются наивероятнейшие значения постоянных от их ориентировочных значений

Если пренебречь частными производными высших порядков, то разность

запишется в виде

Если обозначить

то уравнение (49) принимает вид

Для выражения (48) будем иметь

Условие минимума этой суммы можно получить, приравняв нулю частные производные выражения (50), взятые по этом получим систему уравнений

Уравнения (51) называются нормальными. Число их равно числу неизвестных которые можно из этих уравнений определить.