4.1.5. Произведение двух матриц.

Даны два преобразования а и В, характеризующиеся соответственно матрицами

Применив к вектору и преобразование а к полученному таким образом вектору преобразование а, найдем вектор Определим матрицу преобразования позволяющего непосредственно перейти от вектора и к вектору Имеем

Рис. 4.3.

Затем

или

Итак, матрица, определяющая преобразование иначе говоря, матрица произведения у, имеет вид

Мы узнаем здесь обычное правило образования элементов произведения двух определителей.

Пример 5. Рассмотрим обе матрицы из примера 4. Имеем

Преобразование является зеркальным отображением вектора и относительно биссектрисы координатного угла а преобразование (За — зеркальным отображением относительно биссектрисы Результаты преобразований, очевидно, симметричны по отношению к точке О (рис. 4.3).

Легко заметить правило образования элементов матрицы произведения на приведенном примере произведения двух матриц, имеющих по две

строки и два столбца. Каждый элемент строки матрицы а умножают на соответствующий элемент столбца матрицы и полученные произведения складывают. Например, элемент матрицы произведения, находящийся на пересечении первой строки и второго столбца, является суммой произведений первого элемента первой строки матрицы а на первый элемент второго столбца и второго элемента той же строки а на второй элемент того же столбца :