4.1.20. Применение матричного исчисления к решению системы линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений может быть выполнено по формулам Крамера. Матричные обозначения позволяют записать систему в сжатой форме и, таким образом, делают более удобным обращение с нею. В особенности матричные обозначения облегчают получение некоторых групп неизвестных, причем часто отпадает необходимость вычислять остальные неизвестные.

Рассмотрим систему линейных уравнений

Если обозначить через у матрицу через х матрицу , а через а матрицу коэффициентов, то система (3) может быть записана в форме

Положим, что нам нужно решить эту систему относительно первых к неизвестных Мы можем написать матрицу а в виде

Ее можно рассматривать как составленную из четырех матриц Подобным же разложением получим

Следовательно, систему (3) можно представить как

Формулы умножения матриц показывают, что можно считать матрицы составными элементами и записать систему в виде

Исключим из этой системы Последовательным вычислением получим

и окончательно

Это — группа из линейных уравнений вида она не содержит больше

Пример. Решить относительно систему

Разложим матрицы х, у, а следующим образом:

Имеем последовательно:

Получаем систему уравнений, содержащих только

которая может быть записана в виде

В заключение отметим, что теоретически систему (3) можно полностью решить очень быстро. В- матричных обозначениях имеем

откуда

Практически расчет сводится к вычислению Это совпадает с вычислением по формулам Крамера.