Стационарные случайные функции Лапласа — Гаусса. Применение к чисто дробовому эффекту

Все последующие рассуждения относятся к флуктуациям, возникающим под влиянием чисто дробового эффекта. Об этом же шла речь в п. 9.2.1. Сущность задачи будет изложена на примере, предназначенном сделать изложение более конкретным. Но выводы будут иметь весьма общее значение, что не ускользнет от внимания читателя.

9.2.15. Общие замечания.

В начале этой главы приводился пример, связанный с извлечением шаров из урны с неограниченным числом белых и черных шаров. Если произвести очень большое число извлечений наудачу и если соответственно вероятности появления белого и черного шаров при каждом независимом извлечении, то случайная величина равная числу белых шаров, появившихся при извлечениях, приближенно подчиняется закону нормального распределения, причем погрешность этого приближения можно сделать сколь угодно малой при достаточно большом Указанное нормальное распределение группируется вокруг математического ожидания а его среднее квадратическое отклонение равно Этот пример представляет собой частный случай гораздо более общего результата (центральная предельная теорема).

Пусть число независимых случайных величин, их сумма. Предположим, кроме того, что относительный вклад в сумму 5 каждой из этих величин весьма мал или, по крайней мере, весьма мал во всех случаях, за исключением очень маловероятных. При таких условиях для достаточно большого сумма 5 подчиняется нормальному закону распределения с соответственно выбранным центром. Например, если случайное явление является результирующим для очень большого числа независимых элементарных явлений, то в большинстве случаев можно сказать, что в любой момент величина будет подчиняться нормальному закону распределения. Тогда, предполагая для вероятности того, что выполняется неравенство

будем иметь

причем

Выяснив эти предварительные обстоятельства, займемся изучением случайной функции, приведенной в конкретном примере п. 9.2.1. Речь идет о флуктуациях напряжения на выходе линейного усилителя под действием дробового эффекта сигнала, который мы назовем, с макроскопической точки зрения, постоянным током. В конечном счете, нам нужно рассмотреть случайную функцию

Последовательность значений представляет собой последовательность случайно распределенных моментов времени. Что понимается под выражением случайно распределенные моменты? Сейчас мы это уточним, не входя в тонкости математических рассуждений. Очевидно, речь идет о распределении, статистические свойства которого стационарны, поскольку рассматриваемые нами электроны составляют макроскопически постоянный ток, определенный от до Рассмотрим очень большой промежуток времени и пусть число происходящих за то время электронных ударов. Утверждая, что существует плотность мы тем самым говорим, что при достаточно больших частное будет мало отличаться от величины Если достаточно велико, то приближенно будем иметь электронных ударов.

Выберем очень большое значение и возьмем точек, которые предположим распределенными случайным образом в промежутке Для этого рассмотрим последовательность из независимых испытаний. Каждое из них состоит в выборе точки отрезка причем вероятность поместить эту точку на любой отрезок (внутри отрезка равна После осуществления таких испытаний можно вычислить вероятность того, что любых точек находятся в отрезке внутри отрезка Эта вероятность равна

Естественно, мы не хотим вводить каких-либо преимущественных значений и распределение значений должно быть сделано для бесконечного интервала от до Поэтому за характеристические свойства распределения мы примем такие свойства, которые можно получить, переходя к пределу при

Предельные свойства заключаются в следующем:

1. Вероятность того, что за любой промежуток времени произойдет электронных ударов, подчиняется закону Пуассона Иначе говоря,

2. Имеет место взаимная независимость между промежутками времени, у которых нет никакой общей части (разъединенные промежутки времени). В частности, если два разъединенных промежутка, то вероятность того, что за произошло а за электронных ударов, равна

Распределения, свойства которых мы сейчас уточнили, называются распределениями Пуассона. Установив таким образом свойства последовательности моментов можно полностью изучить случайную функцию в частности, вычислить функцию распределения

Мы ограничимся указаниями, справедливыми в частном случае, который крайне важен в приложениях.

Усилитель обладает некоторой инерцией, и можно связать с ник постоянную времени Нас интересует только порядок ее величины. Среднее число электронных ударов за время равно Ясно, что характер явления будет очень различным в зависимости от того, мала величина или велика по сравнению с единицей. Большое означает, что колебание,

вызванное электронным ударом, практически еще не начало затухать, когда произошел новый удар, иначе говоря, значение наблюдаемое в момент зависит от очень большого числа ударов, происшедших в близком прошедшем по отношению к Малое означает, напротив, что колебание, вызванное столкновением, практически уже затухло, когда последовал новый удар. Значение зависит главным образом от момента удара, непосредственно предшествующего Заметим для ясности, что если мы имеем дело с усилителем, обладающим достаточно большой избирательностью, то в зависимости от величин мы получим промежуточный случай между крайними случаями, представленными на рис. 9.20.

Уточним порядки величин. Рассмотрим для примера усилитель с небольшой постоянной времени . С другой стороны, возьмем ток с силой в который может считаться слабым в большинстве приложений.

Рис. 9.20.

Соответствующее значение равно 60 000. Этого примера достаточно, чтобы показать, что в повседневных случаях произведение будет очень велико. Значение в момент зависит теоретически от всех электронных ударов, предшествующих На практике оно зависит только от столкновений в промежутке где 6 — величина порядка, большего чем Так как очень велико, то в этом промежутке имеется много столкновений, соответственные положения которых взаимно независимы. Слагаемые отвечающие этим ударам, представляют собой независимые случайные величины, и можно предвидеть, что будет подчиняться нормальному закону распределения. Это подтверждается и строгим рассуждением. Случайная величина (предполагается, что если то те же рассуждения следует применить к величине имеет плотность вероятности, определяемую формулой

где

и характеристическую функцию

Кроме того, если, вместо того чтобы рассматривать один момент исследовать моментов выбранных любым образом, то

случайпых величин подчиняются нормальному закону распределения для к случайных величин. Такие законы представляют собой обобщения нормального закона распределения, относящегося к одной случайной величине. Проще всего определить их, обобщая соотношение (109). Можно сказать, что характеристическая функция нормального закона распределения для k. случайных величин — это функция определяемая соотношением типа

где неотрицательная квадратичная форма:

Коэффициенты имеют; очень простой смысл. Мы уже видели, что коэффициенты разложения функции в ряд вблизи точки непосредственно связаны с моментами. Следовательно, можем написать

Поэтому

Если нам нужно, снова перейти к закону распределения, то достаточно вспомнить, что плотность вероятности представляет собой коэффициент преобразования Фурье для характеристической функции как это следует из определяющего соотношения

В общем случае, если через обозначить главный определитель квадратичной формы а через квадратичную форму, то

Напомним, что если коэффициенты квадратичной формы образуют квадратную матрицу то коэффициенты обратной квадратичной формы образуют квадратную матрицу где алгебраическое дополнение элемента в определителе

Основное следствие предыдущих соотношений заключается в том, что закон распределения, которому подчиняются случайных величин всегда можно полностью определить, если известна корреляционная функция!

Корреляционная функция, которая в общем случае имеет только энергетическое значение, определяет теперь все статистические свойства случайной функции Именно потому, что многие случайные процессы, изучаемые в приложениях, описываются стационарными случайными функциями Лаплвса—Гаусса, корреляционные функции играют такую важную роль. В частности,

шумовой фон в линейных усилителях приводит во всех случаях к режимам, описываемым стационарными случайными функциями Лапласа — Гаусса.

Уточним предыдущие выводы, рассмотрев два частных случая

Мы уже получили выражения для характеристической функции и плотности вероятности. Разложение характеристической функции в ряд дает сразу же значение всех моментов. Как известно из. п. 9.1.13,

где целое положительное число.

Рассматриваются две случайные функции Положим, что Тогда

причем очевидно, что

Соответствующая плотность вероятности равна

Сделаем несколько выводов из соотношений (117) и (118). 9.2.16. Связь явлений во времени. Возьмем фиксированное значение и найдем условную плотность вероятности значения если иввестно Вероятность получения в моменты значений (с точностью до ) равна, согласно правилу умножения вероятностей, произведению вероятности иметь в момент значение (с точностью до ) на вероятность иметь в момент значение (с точностью до ), если известно, что в момент получено значение (с точностью до ). Поэтому

Отсюда, используя предыдущие результаты, получаем

Это снова закон нормального распределения. Математическое ожидание дается формулой

а среднее квадратическое отклонение равно

Если меняется от до то меняется от 1 до 0.

На рис. 9.21 представлено изменение математического ожидания и значений, отстоящих от него на одно среднее квадратическое отклонение в каждую сторону (2).

Рис. 9.21 дает очень точное представление о том, что можно назвать непрерывностью явления во времени или еще статистической памятью функции так как он показывает, каким образом знание значения влияет на возможность получения значения Можно заметить, что эта непрерывность явления во времени находится в прямой и исключительной зависимости от корреляционной функции, чем и оправдывается ее название; при этом не следует упускать из виду, что все сказанное справедливо только для стационарной случайной функции Лапласа-Гаусса.

Рис. 9.21.