9.2.6. Сходимость в среднем квадратическом (сходимость с. к.).

Говорят, что сходится к в среднем квадратическом при стремящемся к если

Сходимость в среднем квадратическом влечет за собой сходимость по вероятности. Это следует из неравенства Бьенэмэ, согласно которому

Значит, если задано любое, сколь угодно малое то из соотношений и (59) следует

а это определяет сходимость по вероятности. Сходимость в среднем квадратическом, так же как и сходимость по вероятности, не предполагает для каждой реализации сходимости в том смысле, как ее понимают в анализе.

Можно пояснить этот пункт, заметив, что в примере, представленном на рис. 9.13, х(t) при стремящемся к бесконечности, сходится к по вероятности и то же сходится к нулю в среднем квадратическом. Мы, однако, уже выяснили, что вероятность сходимости функции к нулю в том смысле, как. это понимается в анализе, равна нулю.

Сходимость в среднем квадратическом следует из общего положения, согласно которому для случайной величины, модуль которой остается ограниченным, сходимость к нулю по вероятности влечет за собой сходимость к нулю в среднем квадратическом.

Действительно, предположим, что где А — граница не зависящая от Вернемся теперь к соотношению, которое помогло нам установить неравенство Бьенэмэ (см. сноски на предыдущей странице). Если -любая положительная постоянная, то можно написать

Найдем для интегралов, стоящих в правой части, верхние границы:

Отсюда

Из этого неравенства следует, что стремится к нулю при стремящемся к бесконечности. Действительно, выберем сколь угодно малое положительное число Требуется доказать, что можно найти такое что при будет Для этого возьмем теперь достаточно найти такое чтобы при было

что возможно, так как из определения сходимости по вероятности имеем

при любом наперед заданном

Замечание. Доказательство существенно основано на том, что функция ограничена при любом и при любом испытании. Если это условие не выполнено, то может иметь место сходимость по вероятности без сходимости в среднем квадратическом. Подтвердим это примером. Будем снова исходить из функции которую мы рассматривали ранее (рис. 9.13). Если стремится к бесконечности, стремится к нулю по вероятности, т. е. равенство справедливо для всех Совершенно очевидно, что достаточно соблюдения этого условия для малых значений тогда оно будет иметь место и для больших, так как если то

Отсюда следует, что мы можем произвольно изменять всюду, где х больше некоторой величины и при этом ничего не изменится в сходимости х к нулю по вероятности. Возьмем, например, и заменим на функцию определенную следующим образом:

где определенная (не случайная) функция Очевидно, что если достаточно быстро возрастает при возрастании то можно не допустить, чтобы момент второго порядка стремился к нулю, и даже заставить его неограниченно возрастать при больших значениях При этих условиях функция будет сходиться к нулю по вероятности, но не в среднем квадратическом.

Понятие сходимости в среднем квадратическом представляет интерес по двум существенным причинам:

1) в большинстве случаев момент второго порядка легко вычисляется;

2) в большем числе практических приложений момент второго порядка имеет простой физический смысл.

Уточним этот важный пункт.

Рассмотрим электрический ток флуктуаций проходящий по катушке самоиндукции Положим, что этот ток связан с некоторым параметром, например с положением а указателя потенциометра. Сказать, что в определенный момент при а, стремящемся к этот ток флуктуаций стремится к нулю в среднем квадратическом, значит сказать, что, взяв значение а достаточно близким к можно среднюю энергию накопленную в катушке самоиндукции в момент считать сколь угодно малой.