6.2.10. Интегрирование при помощи степенных рядов.

Ограничимся случаем линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Весьма простая идея решения этого уравнения состоит в том, чтобы попытаться написать его общий или частный интеграл в виде обобщенного степенного ряда с неопределенными коэффициентами:

Подставим этот ряд в дифференциальное уравнение, приведем подобные члены и приравняем нулю коэффициенты при различных степенях х. При этом мы получим бесконечную систему алгебраических уравнений, связывающих показатель степени и коэффициенты Первые (одно или два) уравнения позволяют определить Уравнение, служащее для вычисления называется определяющим уравнением. Остальные уравнения составляют систему рекуррентных соотношений, позволяющих последовательно вычислять коэффициенты разложения. Каждому корню определяющего уравнения соответствует свое разложение в ряд вида (10), удовлетворяющее исходному дифференциальному уравнению. Рассмотрим, например, уравнение

Попробуем найти его решение в виде ряда (10). Подставим этот ряд в дифференциальное уравнение и приравняем нулю коэффициенты при х степени Получим рекуррентное соотношение

Уравнение, соответствующее коэффициенту при х с наименьшей степенью, равной дает

Из рекуррентных соотношений, полученных выше, последовательно находим, что все коэффициенты равны нулю. Это означает, что рассмотренное дифференциальное уравнение не имеет решения в виде обобщенного степенного ряда. Возьмем другой пример:

Подстановка того же ряда дает (если приравнять нулю коэффициент при х в степени следующее рекуррентное соотношение:

Коэффициент при х с наименьшей степенью, равной приводит к определяющему уравнению

Единственное подходящее решение — это тогда неопределенно. Рекуррентное соотношение принимает вид

Остается проверить сходимость получающегося таким способом степенного ряда. Имеем

т. е. полученный ряд расходится при любом х. Это означает, что рассматриваемый способ снова оказывается несостоятельным или, точнее, что дифференциальное уравнение не имеет решения в виде обобщенного степенного ряда. Совершенно очевидно, что эти неудачи связаны с особенностями функций при В приведенных примерах точка представляет собой полюс функций Однако наличие полюса у функций само по себе не исключает возможности успешного

применения рассматриваемого метода. Например, уравнение

может быть решено рассмотренным методом, т. е. оно имеет решение в виде ряда (10). Действительно, подстановка ряда (10), если приравнять нулю коэффициент при х в степени дает

Это рекуррентное соотношение при и 1 приводит к двум определяющим уравнениям:

Первое решение: неопределенно, В данном случае, обозначая получим ряд, сходящийся при любом

С точностью до постоянного множителя это ряд для бесселевой функции (см. п. 7.5.1).

Второе решение: неопределенно. Обозначая получим ряд того же типа, в котором роль постоянного множителя играет

Класс уравнений, решаемых с помощью обобщенных степенных рядов, определяется теоремой Фукса. Приведем ее без доказательства. Если дифференциальное уравнение

таково, что имеют полюсы при то можно найти решение в виде сходящегося обобщенного степенного ряда

при условии, что произведения

остаются конечными при

Ясно, что эти условия не выполняются для дифференциальных уравнений

но выполняются для уравнения

Отметим, что при помощи замены переменной можно всегда перенести полюс в точку Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (11) и предположим, что оно удовлетворяет условиям Фукса при Тогда

функции можно представить в виде:

Коэффициенты не равны нулю одновременно. В противном случае не имели бы при особой точки, и определение общего решения уравнения в виде степенного ряда не представляло бы никакого затруднения.

Будем искать решение уравнения (11) в виде (10). Обозначим через определяющее уравнение:

Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях х, получим:

Из определяющего уравнения находим для два значения: Предположим, что они отличны друг от друга и разность между ними — нецелое число. В этом случае можно последовательно вычислить два ряда коэффициентов соответствующих каждому корню определяющего уравнения. Таким образом, мы получим два обобщенных степенных ряда типа (10). Эти ряды представляют собой линейно независимые решения уравнения (11). Коэффициент входящий множителем во все члены рядов, остается произвольным, т. е. каждое решение определено с точностью до постоянного, множителя. Общий интеграл уравнения получается в виде линейной комбинации этих двух решений.

Положим, что определяющее уравнение имеет двойной корень. В этом случае имеется только одно решение типа (10). Второе, линейно независимое с первым решение придется искать с помощью других искусственных приемов (см. п. 6.2.11). Определив его, мы сможем получить общий интеграл уравнения (11).

Положим, что определяющее уравнение имеет два корня, отличающихся друг от друга на целое число, т. е.

Тогда нетрудно вычислить коэффициенты ряда, соответствующего корню так как отличны от нуля. Для ряда, соответствующего корню V дело обстоит значительно хуже. Здесь процесс вычисления коэффициентов обрывается на номере. Действительно, уравнение, определяющее коэффициент как функцию имеет вид

Коэффициент при равен нулю, так как корень уравнения Рассматриваемое уравнение сводится к равенству

Если это линейное соотношение не удовлетворяется вычисленными ранее коэффициентами что и бывает в большинстве случаев, то найти разложение в ряд типа (10), соответствующее корню невозможно, т. е. рассматриваемый способ не позволяет получить общий интеграл. Если же соотношение выполняется, то можно выразить все коэффициенты через который остается неопределенным. Это значит, что решение, соответствующее содержит два произвольных параметра: коэффициент входящий общим множителем в решение, и коэффициент от которого зависят члены ряда

Пример. Гипергеометрический ряд. Рассмотрим уравнение

где параметры постоянные величины. Для особых точек коэффициентов этого уравнения условия Фукса выполняются.

Построим, например, решение уравнения в окрестности особой точки Полагаем

Приравняем нулю коэффициенты при

Члену с наименьшей степенью х, равной соответствует определяющее уравнение

т. е.

Его корни: . Будем предполагать, что у — не нуль и не целое число, т. е. рассматриваемое дифференциальное уравнение имеет два линейно независимых решения в виде обобщенного степенного ряда (10).

1. Рассмотрим корень Рекуррентное соотношение дает

Отсюда получаем частное решение

Этот ряд называется гипергеометрическим рядом Гаусса. Он сходится абсолютно для любых при а также при если Классическое обозначение такого ряда

причем называется гипергеометрической функцией Гаусса.

2. Рассмотрим корень . Рекуррентное соотношение будет

Оно совпадает с предыдущим выражением, в котором параметры заменены соответственно на Отсюда получаем второе, линейно независимое с первым решение

и общее решение имеет вид

Отметим некоторые частные случаи гипергеометрической функции:

В п. 7.6.14 мы увидим, что функции Лежандра также являются частным случаем гипергеометрической функции. Нетрудно убедиться, что функция является решением дифференциального уравнения Чебышева:

При целом это уравнение допускает в качестве решения обрывающийся гипергеометрический ряд — полином степени. Он обозначается через и называется полиномом Чебышева; с точностью до множителя, зависящего от