1.3.16. Интегрирование при наличии точки разветвления.

Рассмотрим простой пример и проиллюстрируем на нем, какие следует принять предосторожности при интегрировании по контуру, внутри которого имеются точки разветвления. А именно вычислим интеграл Контур С — окружность с центром А и радиусом

Если точка z перемещается по этой окружности, то можно положить Рассмотрим точку . В этой точке функция имеет два значения:

Возьмем первое значение этого корня, а саму точку в качестве отправной. Имеем

Величина интеграла зависит не только от значения, выбранного для но также от отправной точки интегрирования и радиуса окружности.

Таким образом, при вычислении интеграла по контуру, внутри которого находятся точки разветвления функции, требуется предварительно фиксировать определенную ветвь функции и отправную точку интегрирования.

На практике вычисление производится следующим образом. Точку разветвления А соединяют с контуром С дугой, не имеющей двойных точек, которую z при движении вдоль С не может пересечь. Таким образом осуществляется разрез. Точка z может перемещаться по замкнутому контуру состоящему из контура С, малой окружности, заключающей точку разветвления, и обоих берегов бесконечно узкого разреза (эти берега обходятся в противоположных направлениях). Отметим, что контур, состоящий из обоих берегов разреза и малой окружности, иногда называют шнуром (рис. 1.28).

Наличие разреза обязывает функцию снова принимать прежнее значение, когда z возвращается в исходную точку, какой бы при этом ни был описан путь внутри или на нем. Действительно, при таком движении аргумент точки z может изменяться только на величину, меньшую Внутри контура функция становится голоморфной (кроме как в конечном числе полюсов), и поэтому можно применить теорему о вычетах. Интеграл, взятый по контуру С, начиная от заданной начальной точки (искомый интеграл), сложенный с интегралами по разрезу и по малой окружности, будет равен сумме вычетов относительно полюсов, находящихся внутри

Рис. 1.28.

Следует заметить, что существует глубокое различие между разрезом, описанным в п. 1.3.12 (замечание 1) и рассмотренным в данном пункте. В последнем случае интегралы по различным берегам разреза не компенсируют друг друга, так как значения, которые принимает функция в двух бесконечно близких точках на разных берегах разреза, существенно отличаются друг от друга. Рассмотрим, например, функцию Если бы не было разреза, то любую точку можно было бы представить как -для этого требуется лишь осуществить один поворот около точки разветвления (в положительном направлении). И тогда функция вместо начального значения приняла бы значение На верхнем и нижнем берегах разреза в точках окружности С функция принимает соответственно значения

Рис. 1.29.