Приближение отрезком ряда Фурье. Задача гармонического анализа

Как и для приближения полиномом, мы будем различать случаи, когда функция задана аналитически, графически или таблицей ординат, соответствующих равноотстоящим абсциссам.

10.3.11. Функция задана аналитически.

Предположим, что функция известна в промежутке . В п. 2.1.5 мы видели, что коэффициенты выражения

такого, что средняя величина квадрата ошибки

минимальна, даны выражениями

При этом средняя величина квадрата ошибки «равна

Если функция определена в промежутке то мы придем к предыдущему случаю при помощи замены переменной

Тогда задача будет заключаться в приближении к функции

при помощи тригонометрической суммы (37).

Этим приемом можно также пользоваться в силу примечания, сделанного по поводу приближения полиномами, если функция известна из графика. При этом нужно графически же производить интегрирование, которого требует применение формул (38).

10.3.12. Эмпирическая функция.

Функция известна из таблицы, дающей и значение для и значений аргумента, делящих промежуток на равных частей.

Если бы промежуток простирался от 6 до то достаточно было бы произвести замену переменной по формуле (39). Пусть

частная сумма ряда Фурье. Задача будет иметь смысл, лишь если число коэффициентов, которые нужно определить, меньше или равно числу уравнений

Если то коэффициентов могут быть определены бесконечным количеством способов.

Если то система (41) допускает единственное решение. Все ошибки равны нулю. Сумма квадратов ошибок, очевидно, также равна нулю.

Если коэффициенты определяются условием сделать сумму квадратов ошибок наименьшей. При этом система (41) не удовлетворяется..

Два последних случая можно рассматривать совместно. Вместо того чтобы решать систему (41), коэффициенты находят таким образом, чтобы сделать сумму квадратов ошибок наименьшей. Если этот минимум равен нулю.

Сумма квадратов ошибок равна

Коэффициент определяется из уравнения

Если чисел делят интервал 0, на равные части, т. е.

и если различные целые числа, заключенные между и то можно написать

Следовательно, формула (43) дает

Точно так же

Средняя величина квадрата ошибки равна

Замечание 1. Мы предполагали до сих пор, что иначе говоря, что функция не имеет точек разрыва первого рода в начале. Если чтобы уничтожить разрывность, достаточно из данной функции вычесть подобранную должным образом пилообразную функцию Разложение этой последней функции в ряд равно

Замечание 2. Если бы мы захотели пользоваться способом, изложенным в предыдущем пункте, то, вычисляя методом трапеций интегралы, входящие в формулы (38), мы получили бы формулы (44) — (46).

Рис. 10.11.

10.3.13. Практические способы вычисления.

Если таблица чисел, определяющих эмпирическую функцию, дана заранее, то дело сводится к вычислениям по формулам (44) — (46). Если же эмпирическая функция дана графически, то число «4 1. которое служит для составления таблицы, находится в нашем распоряжении. При и вычисления значительно упрощаются, так как фигурирующие в расчетах 24 значения синуса и косинуса с точностью до знака принимают лишь три значения, отличные от нуля:

Вычисление ведется при. этом следующим образом:

1. Записываем 12 значений функции:

2. Записываем суммы и разности:

3. Составляем таблицы:

а) Вычисление коэффициентов при синусах

(см. скан)

б) Вычисление коэффициентов при косинусах

(см. скан)

В этих таблицах числа 0,500, 0,866, 1,000 умножаются на соответствующие (стоящие в той же строке) значения или 8. Произведения в каждом столбце складываются. Сложение и вычитание полученных сумм и дает искомые коэффициенты

Графический метод. Можно пользоваться графическим методом для вычисления величин определенных формулами (44), (45).

Рис. 10.12.

Рассмотрим векторы с модулями аргументами Величины — будут соответственно проекциями на оси геометрической суммы этих векторов.

Пример. Дана функция, изображенная на рис. 10.12, а. Вычисления коэффициентов приведены на стр. 710.

Графический способ, применяемый на рис. 10.12, б, дает результаты, прекрасно согласующиеся с предыдущим вычислением. Чтобы не загромождать чертеж, ломаная линия, соответствующая определению не изображена.

Если требуется найти более короткое тригонометрическое выражение возможно лучше приближающееся к графически заданной функции, вычисление коэффициентов можно осуществить только сложением и вычитанием:

(см. скан)

Для вычисления нужно ввести ординаты, соответствующие иначе говоря Тогда

Пример. Применим этот способ к предыдущему примеру. Тогда

Это хорошо согласуется с полученными ранее результатами. Кривая

изображена пунктиром на рис. 10.12.