Получим
иначе говоря,
Дадим
значение
принимает значение
и все члены суммы равны нулю, кроме произведения, для которого
Отсюда
Искомый полином
может быть записан в виде
Это интерполяционная формула Лагранжа. Важно отметить, что она мало удобна для быстрых вычислений, но имеет большое теоретическое значение.
Полином
лучше найти следующим образом. Запишем
в виде
Имеем
Рассмотрим полином
Затем рассмотрим полином
и
Шаг за шагом определяем все коэффициенты В, что и дает искомый полином
Практически вычисления располагают в виде следующей таблицы:
(см. скан)
Найдем предел ошибки, совершенной при замене
на
Рассмотрим функцию
и предположим, что функция
дифференцируется
раз. Имеем
Функция
обращается в нуль при значениях
Повторное применение теоремы Ролля позволяет показать, что производная
обратится в нуль при значении
заключенном между самым большим и самым малым из предыдущих чисел. Следовательно,
Если
верхний предел
в интервале, содержащем все точки
то
Теперь понятно, что ошибка будет тем меньше, чем ближе х будет к одной из точек
и что интерполяция будет точнее, чем экстраполяция.
Пример. Экспериментально была получена таблица, определяющая некую эмпирическую функцию:
Речь идет о действительном сопротивлении антенны как функции отношения ее длины к длине волны
Найдем параболу третьей степени, проходящую через четыре данные точки.
1. Способ Лагранжа состоит в замене букв их значениями в выражении
После подстановки и довольно долгих вычислений находим
2. Второй способ дает таблицу
(см. скан)
Отсюда находим полином
который совпадает с точностью до погрешностей вычисления с уже найденным полиномом.