9.1.19. Согласование наблюденных данных с теоретическим законом распределения.

Разложение в ряд Грата -Шарлье. Одним из основных применений теории вероятностей для контроля производственного процесса является оценка расхождения между двумя законами распределения. Один из них мы примем за теоретический, а другой закон будем исследовать. Обычно этот второй закон распределения является статистическим. Нашей задачей является выяснение вопроса о том, согласуется ли статистический закон распределения с данным теоретическим.

Закон всегда соответствует уже известному характеру совершения событий. Если бы нам удалось найти степень общности между этими двумя законами, мы смогли бы сделать заключения о скрытом еще от нас характере явления, при котором возникновение событий подчиняется исследуемому закону.

Если, например, представляет собой закон распределения измерений силы тока, возникающего при нагреве в водороде серии сопротивлений, и если можно удовлетворительным образом связать закон с нормальным законом распределения, то от инженера, отвечающего за производство, требуется только вести производство так, чтобы рассеивание и среднее значение х контролируемой величины оставались в пределах допусков.

Действительно, сродство с нормальным законом распределения укажет ему, что величина х представляет собой случайную величину, и поэтому рассеивание величины х вызывается не систематическим дефектом установки, а лишь влиянием большого числа малых ошибок, действующих в любых возможных направлениях.

Рассмотрим общий случай. Пусть исследуемый закон, а теоретический. Положим

Если коэффициенты малы, то закон хорошо представляет закон Пусть представляют собой соответственно характеристические функции законов Положим

Тогда так как коэффициент

Разложим по возрастающим степеням величины

Тогда

Интегрируя по частям общий член ряда, легко заметим, что

повторяя раз интегрирование по частям, получим

откуда

Так как, по определению,

видим, что Коэффициенты разложения в формуле (37) выражены, таким образом, через коэффициенты разложения отношения двух характеристических функций — по возрастающим степеням

Пусть моменты порядка соответственно для законов распределения Тогда следует сначала выбрать закон таким образом, чтобы математические ожидания х и X совпадали. Если отнести оба закона к этому общему математическому ожиданию, то

Кроме того, нужно выбрать закон таким образом, чтобы для него дисперсия совпадала с дисперсией для закона

Действительно, если это окажется невозможным, то сравнение будет бесполезным. Считая эти условия выполненными, можем написать

откуда получаем коэффициенты