10.3.3. Значения переменной находятся в арифметической прогрессии. Таблица разностей.

Дана функция принимающая значения при значениях переменной х. Выражение

называют первой разностью для значения а аргумента. Первая разность для значения будет

Вторую разность, третью, разность порядка определяют, применяя предыдущее вычисление к первой разности, второй, разности порядка

Легко заметить, что в частном случае, когда

представляет собой полином степени, разности порядка равны между собой, а разности выше порядка равны нулю. Действительно, первые разности для значения х переменной — это полиномы степени до разностей порядка, которые сводятся к постоянному члену.

На практике, если дана таблица, определяющая эмпирическую функцию, разности разных порядков располагаются в следующую таблицу:

(см. скан)

Каждый член равен разности между ближайшими снизу и сверху членами соседнего слева столбца:

Составим, например, таблицу разностей для функции от до

(см. скан)

Пример. Дана функция Таблицы дают значения для значений х, меняющихся через 0,001 между 0,515 и 0,520. Получаем следующую таблицу разностей:

(см. скан)

Замечание. Значение а не обязательно должно быть начальным.

Если известны значения функции для

можно, пользуясь отрицательными индексами, продолжить вверх таблицу для

(см. скан)

Интерполяционные полиномы

Найдем полином порядка, принимающий точно значение для значений

аргумента. Напишем его в нескольких видах, которые дадут нам основные классические интерполяционные полиномы.