7.6.19. Функция Лежандра второго рода.

Определения. Используем вычисления п. 6.2.11. Решением (99), линейно независимым от будет

Поэтому общее решение (99) для целых и положительных имеет вид

Полином Лежандра имеет только простые вещественные корни лежащие внутри интервала Поэтому можно написать

Коэффициенты вычисляются по формулам

где

Отсюда

Подставим (139) в уравнение (99) и положим затем Тогда

Следовательно,

и можно написать

Функция Лежандра второго рода, в соответствии с формулой (140), определяется следующим образом: для вещественных z, заключенных внутри интервала по формуле

для комплексных z, а также для вещественных z, находящихся вне интервала по формуле

При таком определении функция Лежандра второго рода вещественна при вещественных значениях z.

Функция Лежандра второго рода имеет две точки разветвления Соединяя разрезом точки выделяем однозначную ветвь этой функции.

Если последовательно придавать значения согласно формуле (141), находим

Общая формула имеет вид

где

или

Переход к формуле (142) при любом фиксированном осуществляется заменой в на

Рассмотрим ряд (104), определяющий решение (99) для всех значений z, удовлетворяющих условию Легко убедиться, что функция, заданная рядом (104), при где целое положительное число, совпадает с функцией с точностью до постоянного коэффициента

Ряд (104) можно взять в качестве определения функции при произвольном полагая множитель равным

В — эйлерова функция первого рода, определенная в п. 7.4.6.

Пусть целое положительное число Тогда можно показать, что функция Лежандра второго рода (141) совпадает с функцией, определенной тем рядом (101) или (102), который не вырождается в полином Лежандра, если положить

Аналогично тому, как это было сделано для бесселевых функций, можно определить функцию Лежандра второго рода с помощью пределов:

Используя ряд (104) и повторяя рассуждения п. 7.6.17, можно показать, что функция подчиняется тем же рекуррентным соотношениям, что и Следовательно, эти соотношения справедливы для любого интеграла (99). С помощью указанных выше формул определения нетрудно установить, что. функции принимают следующие значения: