где
функция, уже не имеющая разрыва при
Поэтому для изучения особенности разложения
вблизи
достаточно рассмотреть поведение
вблизи нуля.
При
имеет своим значением ±1 в зависимости от того, как х стремится к нулю: принимая положительные или отрицательные значения. Сумма же ряда Фурье для
при
стремится к единственному значению — нулю. В этом нет ничего удивительного, так как ряд справа — непрерывная функция х и не может иметь двух разных значений при значении переменной
Рассмотрим первые
членов разложения
Начертим кривую, представленную этим рядом. Для этого изучим производную
Если, в формуле (1) п. 1.1.13 положим
то
Следовательно,
Максимумы и минимумы
при изменении х от
до определяются равенством
откуда
Рис. 2.6.
Кривая
совершает ряд колебаний вокруг ординаты
(рис. 2.6). Нетрудно заметить, что первый максимум (при
) наибольший. Его ордината равна
где мы обозначили
При больших значениях
(соответственно малых
можно заменить
Предел ординаты первого максимума при
будет, следовательно,
вместо того, чтобы быть равным единице (символ
обозначает интегральный синус — см. п. 7.2.1).
Таким образом, функция, представленная тригонометрическим рядом, переходя через разрыв, делает скачок, примерно на 18% больший, чем исходная функция. Это явление было обнаружено в 1899 г. американским физиком Гиббсом. Оно иллюстрируется рис. 2.7, где приведены графики функций
сумм
первых членов разложения в ряд Фурье функции
в промежутке
Рис. 2.7.
Из-за явления Гиббса представление разрывных функций рядом Фурье в окрестности точек разрыва не вполне удовлетворительно