7.9.3. Основные свойства полиномов Чебышева.

Корни. Все корни вещественны и заключены между Корень номера дается формулой

Эти значения попарно симметричны, поэтому мы можем написать

Корни даются выражением

и здесь мы можем также написать

Корни значения при которых имеет максимум или минимум, и наоборот.

Исходя из дифференциального уравнения (213), нетрудно проверить, что имеют место соотношения, аналогичные формуле Родрига для полиномов Лежандра

Если то во втором уравнении нужно заменить

Ортогональность. Если в интеграле

положить то получим

Та же подстановка в интеграле

приводит к формуле

Из этих формул видно, что функции ортогональны в интервале с весовой функцией

Связь с бесселевыми функциями. Функции Бесселя связаны с полиномами и функциями Чебышева следующими формулами:

Эти формулы показывают, что при анализе спектра частот сигналов вида и мы должны вводить функции Чебышева и что в этом спектре отсутствуют круговые частоты больше единицы.

Мы видели, что проекция кривых паи обвитых вокруг круглого цилиндра с радиусом единица, на плоскость, параллельную оси цилиндра, — это кривые Если обвить вокруг того же цилиндра график периодической функции с периодом представленной разложением в ряд Фурье:

то проекция его на ту же плоскость будет представлена разложением вида

При практическом применении полиномов Чебышева часто необходимо решать уравнение степени

где с — численная константа.

Если уравнение имеет вещественных корней. Положив , имеем Обозначив через находим следующую формулу для корней

Если уравнение имеет только один вещественный положительный корень:

Производящая функция. Из ряда

если положить получим

Отсюда находим две производящие функции:

Если будем исходить из ряда

и обозначим то найдем

Отсюда получим две другие производящие функции:

Рекуррентные соотношения. Если исходить из формул для и положить то легко найдем

Точно так же, исходя из формул для получим

Это дает

Положив в первой и последней формуле, получим рекуррентные соотношения:

Формула умножения. Имеем

Если то

полагая здесь получим