7.6.26. Сферические гармоники.
Вернемся к концу п. 6.3.8, где мы решали уравнение 
в системе сферических координат. Допустим, что нужно найти функцию 
на сфере заданного радиуса. Мы уже видели» что эта функция зависит от множителя
который называется сферической гармоникой. Здесь 
обязательно равно целому числу 
так как функция после полного оборота должна остаться неизменной. Кроме того, 
целому, чтобы исключить функции, которые становятся бесконечными на полюсах сферы. Итак, имеем
Рассмотрим некоторые частные случаи (163):
1) 
. Функция 
становится равной нулю одновременно 
иначе говоря, на 
параллелях сферы, симметрично расположенных по обеим сторонам экватора. 
называется зональной гармоникой.
2) 
. Функция 
становится равной нулю на меридианах, соответствующих корням 
и на 
параллелях, симметричных относительно экватора. В этом случае выражение (163) называется тессеральной гармоникой.
и, наконец,
Из формул (161) и (162) вытекает, что функции в промежутке 
можно разлагать в ряд по присоединенным функциям Лежандра первого рода.
Чтобы получить ортонормальную систему функций, мы должны ввести нормированные присоединенные функции Лежандра первого рода (см. рис. 7.51-7.54):
Отметим, что при разложении в ряд по полиномам Лежандра часто используются нормированные полиномы Лежандра
