4.1.19. Обратная матрица.
Рассмотрим матрицу а, преобразующую вектор и в вектор 
Иначе говоря, речь идет о таблице коэффициентов, входящих в 
линейных соотношений
Рассмотрим матрицу 
, определяющую обратное преобразование от нового вектора 
к прежнему вектору и
иначе говоря, таблицу коэффициентов, входящих в следующие линейные соотношения:
Матрица [3 называется обратной по отношению к матрице а и обозначается через 
Коэффициенты системы соотношений (2) можно получить из системы (1), решив ее относительно 
Они могут быть вычислены по известной формуле Крамера:
Здесь 
— определитель матрицы 
- алгебраическое дополнение соответствующего элемента т. е. определитель, который получают, вычеркивая в 
строку и столбец, пересекающиеся на элементе 
снабженный
множителем 
Следует обратить внимание на то, что элемент 
находящийся на пересечении строки 
и столбца 
в 
соответствует 
а минору 
относящемуся к элементу 
который находится на пересечении строки I и столбца 
На практике вычисление матрицы, обратной а, осуществляется так:
1. Выписывают матрицу а, транспонированную по отношению к а.
2. Заменяют каждый элемент матрицы а определителем, полученным в результате вычеркивания строки и столбца, на которых расположен данный элемент.
3. Этот определитель сопровождают знаком плюс, если сумма индексов элемента четная, и знаком минус — в противном случае.
4. Делят полученную матрицу на 
определитель матрицы а. Пример. Требуется вычислить матрицу, обратную
Матрица а будет
Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца:
Переменим знаки у элементов с нечетной суммой индексов. Тогда
Разделим на 
Таким образом, получаем
Матрица, обратная матрице произведения двух матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке, т. е.
Действительно, рассмотрим произведение 
. В силу ассоциативности операции умножения 
Обозначая 
и учитывая, что 
находим
Это правило непосредственно распространяется и на произведение любого числа матриц:
Замечания. 1. При вычислении обратной матрицы предполагается, что определитель матрицы отличен от нуля, иначе говоря, что матрица невырождена: В противном случае определить обратную матрицу невозможно.
Сказанное относится и ко всем не квадратным матрицам. Их можно всегда сделать квадратными, прибавив необходимое число нулей, но тогда определитель матрицы будет равен нулю.
2. В случае диагональной матрицы обратная матрица также диагональна. Элементы ее, не равные нулю, представляют собой обратные величины диагональных элементов заданной матрицы:
3. Мы видели, что правило умножения двух матриц то же, что и умножения двух определителей. Однако аналогия между матричным исчислением и операциями с определителями на этом и заканчивается. В частности, правило умножения на число и правило сложения очень различны. Действительно,
Точно так же
Мы не останавливаемся, конечно, на глубоком различии сущности обоих понятий. Предыдущее замечание было сделано только для того, чтобы внешняя аналогия не привела к ошибкам из-за смешения правил вычисления.
