9.1.15. Замечания о переходе от биномиального закона распределения к нормальному.

Вернемся к рассмотрению условий, позволяющих заменить биномиальный закон распределения, представленный формулами (21) или (26), нормальным законом, определяемым формулой (31).

При этом переходе мы допускаем несколько ошибок, а именно:

1) при замене истинного значения факториала его приближенным значением по формуле Стирлинга (при переходе от формулы (26) к формуле (27));

2) за счет пренебрежения бесконечно малыми высшего порядка при переходе от формулы (27) к формуле (28) или к формуле (31);

3) при замене дискретной случайной величины непрерывной.

Можно показать, что основная часть этих ошибок пропорциональна если отлично от и пропорционально если равно

Если не слишком велико, а близко к то кривая, представляющая нормальный закон распределения, пройдет очень близко от точек, изображающих биномиальный закон, кроме случаев очень больших значений отклонения.

Рассмотрим, например, случай (см. схему на рис. 9.5. и таблицу в примере п. 9.1.11). Ординаты при этом были вычислены по биномиальному закону. Сравним их значения со значениями, полученными по формуле (28).

При малом отклонении имеем

ошибка составляет 0,5%.

При большом отклонении имеем

ошибка составляет 88%.

Если исследователь-статистик не располагает статистическими таблицами, содержащими очень большое количество результатов измерений, ему следует с большой осторожностью пользоваться нормальным законом распределения

и только для малых значений отклонений в случае, когда вероятности не слишком отличаются друг от друга. Следует также помнить, что "хвосты" кривой Гаусса, соответствующие большим отклонениям, вевсе не представляют собой в этом случае биномиальный закон. Напротив, физик, который исследует столкновения молекул или электронные флюктуации, будет все время иметь дело с очень большими числами и сможет всегда отождествлять биномиальный закон распределения с нормальным законом, за исключением, однако, случая очень малой вероятности

Действительно, рассмотрим случай, когда значительно отличается от При этом точки, изображающие биномиальный закон распределения, не находятся на кривой Гаусса на любом участке этой кривой. Отличие будет тем больше, чем больше будет отличаться от и чем меньше будет Однако, если даже большое число, нельзя отождествить оба эти закона в случае крайне малой вероятности, как это встречается в физике.

Если, например, то пренебречь величиной можно, только если будет порядка .

Полезно было бы найти промежуточный закон распределения для случая очень малых вероятностей Конечно, закон этот должен приближаться к нормальному закону распределения, если бесконечно возрастает.