5.1.4. Определение тензора.
Скалярная величина является тензором нулевой валентности и имеет только одну компоненту. Вектор является тензором первой валентности и имеет 
компонент. Этот тензор может быть либо ковариантным — при этом его компоненты должны обозначаться через 
либо контравариантным — тогда его компоненты должны обозначаться через 
Тензор второй валентности имеет 
компонент. Существует три типа тензоров второй валентности:
дважды ковариантный тензор, общая компонента которого может быть записана в виде 
дважды контравариантный тензор, общая компонента которого может быть записана в виде 
смешанный тензор — один раз ковариантный, один раз контравариантный, — общая компонента которого может быть записана в виде 
Компоненты тензора второй валентности могут быть расположены в виде квадратной таблицы. Ниже мы увидим, что между тензором и матрицей имеется сущэственная разница. Часто для указания того, что элементы, входящие в таблицу, являются тензорными, таблицу заключают в круглые скобки:
или сокращенно 
Тензор третьей валентности имеет 
компонент, которые могут располагаться в виде кубической таблицы. Существует четыре типа тензоров третьей валентности:
Произвольная компонента наиболее общего тензора запишется в виде
ковариантными и 
контравариантными индексами. Сумма 
валентность тензора, имеющего 
компонент. Это не означает, что "математический объект", состоящий из 
элементов, является 
-валентным тензором в 
-мерном пространстве. Определение тензора дается с помощью формул преобразования координат.
Пусть 
произвольная компонента 
-валентного тензора, 
раз ковариантного и 
раз контравариантного в некоторой системе координат, а 
соответствующая компонента того же тензора в любой 
системе координат.
Если 
компонента тензора, то преобразование компоненты 
в компоненту 
происходит по формуле
Наличие 
ковариантных и 
контравариантных индексов влечет за собой введение 
множителей 
множителей 
Обратное преобразование имеет вид
Если преобразование 
и обратно не подчиняется этим формулам, то 
не является тензором. Однако выяснение вопроса о том, является ли данная совокупность элементов тензором, путем установления применимости или неприменимости приведенных формул преобразования координат — длинная и сложная операция. Ниже 
мы рассмотрим более быстрый способ выяснения этого вопроса.
