ГЛАВА IV. МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4.1. АЛГЕБРА МАТРИЦ

4.1.1. Плоское преобразование, понятие оператора.

Обозначим через а операцию, преобразующую вектор в другой вектор . Это преобразование можно символически написать в виде

Если операция а преобразует каждый вектор в строго определенный вектор, то рассматриваемое преобразование однозначно.

Если операция а преобразует различные векторы в различные, т. е. неравенство и влечет за собой то она называется неособенной.

Если

где с — произвольная постоянная, а произвольные векторы, то преобразование называется линейным. Ниже мы ограничимся только линейными операциями.

Принято называть а оператором преобразования.

Если вектор и, отличный от нуля, преобразуется в вектор имеющий то же направление, т. е. если преобразование а изменяет только длину или, как принято говорить, модуль вектора а, то, обозначив через X коэффициент растяжения или сжатия длины вектора, получаем

(В этом равенстве а — оператор, а X - алгебраическое число.) Принято говорить, что направление вектора и — это собственное направление оператора а, а — это соответствующее собственное значение.

Рис. 4.1.

Пример 1. Даны две взаимно перпендикулярные прямые и вектор . Пусть новый вектор V определяется следующим образом: его проекция на в 5 раз больше проекции и на а его проекция на равна половине проекции и на (рис. 4.1).

Ясно, что если вектор и находится на прямой то

а если он находится на то

Следовательно, и два собственных направления , а числа 5 и 0,5 — два соответствующих им собственных значения.

4.1.2. Сумма двух операторов.

Если две операции по отдельности приложены к вектору и, то сумма обозначается через

Оператор называется суммой операторов

4.1.3. Произведение двух операторов.

Пусть произведена операция а над результатом операции проделанной над и. Если можно перейти непосредственно от и к конечному результату действия обоих операторов при помощи единственной операции то оператор называется произведением операторов

Символически это записывается в виде

Следует заметить, что в большинстве случаев оператор отличается от поскольку порядок, в котором производятся операции, не безразличен. Это легко показать на следующем примере.

Рис. 4.2.

Пример 2. Дана прямая точка О на этой прямой и некоторый вектор и (рис. 4.2). Операцию а определим как зеркальное отображение по отношению к прямой а операцию как поворот на 90° в направлении часовой стрелки. Операция а над и дает вектор а операция над вектор Операция над и дает вектор а операция а над вектор отличный от (концы векторов симметричны по отношению к точке О).

Разность назовем коммутатором операторов Если коммутатор двух операторов равен нулю, то говорят, что операторы перестановочны. В этом случае