9.2.2. Функции распределения.

Изучение случайной величины показало, что не всегда нужно полностью знать схему случайности и что если известна функция распределения случайной величины, то с вероятностной точки зрения поведение этой переменной, взятой изолированно, также будет определено. Что можно сделать при аналогии применительно к случайной функции

Прежде всего рассмотрим фиксированное значение При этом есть случайная величина и естественно будет ввести ее функцию распределения. Обозначим эту функцию имея в виду, что представляет

собой вероятность осуществления события Очевидно, что момент не имеет никаких преимуществ перед другими, и, следовательно, мы приходим к постановке того же вопроса для всех моментов иными словами, пытаемся найти функцию распределения для всех моментов Зная мы будем знать в каждый момент времени распределение наблюдаемых значений. Этого, однако, недостаточно, чтобы получить полное представление о поведении функции в частности, чтобы определить ее развитие во времени, что ясно видно на следующем примере. Пусть случайная величина, которая с равной вероятностью может принимать все значения в интервале . Каждому значению соответствует функция где известная постоянная. Таким образом, определена случайная функция по категории испытаний, соответствующей всем возможным значениям Можно без труда получить функцию Она не зависит от и отвечает плотности вероятности

представленной на рис. 9.10

Рис. 9.10.

Введем теперь еще одну случайную функцию определенную по той же категории испытаний, что и раньше, и рассмотрим для любого значения следующую функцию, постоянную при всех

Рис. 9.11.

Функция распределения соответствующая тождественна функции соответствующей однако обе случайные функции имеют очень мало сходства. В частности, каждая реализация представляет собой синусоиду, тогда как каждая реализация прямая, параллельная оси времен. На рис. 9.11 приведены кривые, представляющие функции и для некоторого значения

Этот простой пример показывает, что недостаточно знать чтобы охарактеризовать цепь значений, которые последовательно принимает х с течением времени. Другими словами, знание функции не дает связи между различными случайными значениями, которые принимает в различные моменты времени. Мы вынуждены поставить вопрос: если и — два любых частных значения, то каковы должны быть статистические свойства совокупности двух случайных величин (Речь идет

в большинстве случаев о случайных величинах, связанных между собой вследствие наличия некоторой непрерывности явлений во времени.) Мы узнаем статистические свойства двух связанных между собой величин если нам станет известна функция распределения соответствующая совокупности этих двух случайных величин.

Напоминаем, что функция представляет собой вероятность одновременного осуществления неравенств:

В общем случае мы получим представление о статистических свойствах случайной функции если сможем ответить на следующий вопрос. Пусть есть значений любое, но конечное число), выбранных любым способом. Какова функция распределения соответствующая совокупности связанных между собой случайных переменных Вследствие изложенного мы заключаем, что случайная функция определена, если известна функция распределения соответствующая наиболее общему случаю. Известную функцию распределения можно заменить соответствующей характеристической функцией, определенной по совокупности связанных между собой случайных величин Напоминаем, что если есть случайных величин, определенных по одной и той же категории испытаний, то характеристическая функция, отвечающая этим переменным, является математическим, ожиданием величины которое представляет собой функцию переменных . В рассматриваемом случае характеристическая функция, соответствующая функции распределения будет равна для заданных значений Это функция переменных которая зависит от параметров — моментов времени Следовательно, характеристическая функция, соответствующая функции распределения это функция от переменных

Она определяется формулой

Прежде чем покончить с вопросом о функции распределения, сделаем еще три замечания,

1. Можно попытаться приближенно описать поведение функции пользуясь ограниченным числом особенно типичных значений. Для этого следует ввести моменты или средние значения Это обстоятельство не является новым при изучении случайных величин, но новым оказывается весьма большое количество рассматриваемых моментов, что объясняется введением переменного параметра Следует ввести:

а) момент первого порядка представляющий собой функцию одной переменной

б) наиболее общий момент второго порядка — математическое ожидание произведения представляющее собой функцию двух переменных . В частном случае, когда мы снова получаем начальный момент второго порядка зависящий только от одной переменной

в) наиболее общий момент порядка математическое ожидание произведения представляющее собой функцию переменных. Он включает все частные случаи, которые можно получить, связывая между собой значения в частности момент который получится при условия, что все значения одинаковы.

Совершенно очевидно, что все эти моменты можно получить, зная Еще удобнее получить их, если известно разложение в ряд в окрестности начала координат для характеристической функции

Известно что знание характеристической функции позволяет получить моменты любого порядка. Мы применяли это, в частности, для случая совокупности двух связанных между собой случайных величин (формулы (19)).

2. Чтобы уточнить связь явлений во времени, естественно поставить вопрос, в какой мере знание значений полученных для в моменты может определить значения отвечающие моментам Иными словами, речь идет о знании условной вероятности для I величин в предположении, что значения известны. Эта условная вероятность описывается функцией распределения, которую мы обозначим

Она представляет собой вероятность одновременного выполнения неравенств

в предположении, что справедливы соотношений

Функции условного распределения, которые только что были введены, получаются из априорных функций распределения (т. е. определенных при отсутствии каких бы то ни было дополнительных условий) путем применения теоремы умножения вероятностей. Пример этого приводится ниже. В настоящий момент ограничимся показом на конкретном случае важности изучения условных вероятностей.

Рис. 9.12.

Допустим, что мы наблюдаем явление имеющее случайный характер, определенное по известной категории испытаний Рассмотрим определенный опыт, приводящий к явлению х, и отметим значения х в моменты Отложим на графике (рис. 9.12) соответствующие точки Пусть это будут Если явление х развивается достаточно медленно, то мы можем соединить точки непрерывной кривой, которая представит с. хорошим приближением ход изменения в интервале Положим теперь, что наша информация не превышает момента Значения функции для моментов, будущих по отношению к моменту являются случайными. Если бы мы все же захотели

произвести экстраполяцию, то, предполагая некоторую непрерывность явления, могли бы в течение, некоторого, не слишком большого отрезка времени продолжить кривую как ее касательную в точке Однако чем больше мы станем продвигаться в будущее, тем меньше будет обоснована такая экстраполяция. Строго говоря, начиная с момента совокупность возможных реализаций неограниченно расширяется, и становится возможным бесконечное количество кривых, как это показано на рис. 9.12. Некоторые из этих возможных кривых имеют больше шансов быть наблюденными, чем другие. Поэтому представляет интерес изучение случайных величин имеют значения, полученные в предыдущем опыте (значения все больше

3. Приведенные до сих пор примеры относились к случайным функциям времени. Это особое значение, придаваемое параметру дает возможность сделать изложение более наглядным, но следует иметь в виду, что не обязательно должно представлять собой время и может быть любым параметром. Можно, например, сказать, что в некоторый момент скорость турбулентной жидкости является случайной функцией координат.