2.2.3. Применение к электрическим цепям.

Положим, что функция представляет собой электродвижущую силу, приложенную к контуру или электрической цепи. Согласно формуле (20) можно рассматривать электродвижущую силу как сумму бесконечного числа синусоидальных составляющих, амплитуды которых даны выражением а частоты проходят весь спектр от до Следует считать, что эти элементарные синусоидальные электродвижущие силы приложены бесконечно давно. Поэтому единственным электрическим током, который существует в цепи, будет ток с постоянным синусоидальным режимом. Действительно, переходной ток, вызванный внезапным приложением элементарной электродвижущей силы, экспоненциально затухает и в стационарном режиме равняется нулю. Конечно, для этого нужно, чтобы сопротивления цепи были положительны, иными словами, чтобы это была рассеивающая цепь. Итак, нас будут интересовать только синусоидальные токи.

Известно, что если представить через полное сопротивление контура или эквивалентное полное сопротивление цепи, а через синусоидальную электродвижущую силу, то стационарный синусоидальный ток будет равен

Применим эту формулу к сумме синусоидальных электродвижущих сил, представленных формулой (20). Электродвижущая сила, соответствующая частотам, заключенным между будет

Результирующий стационарный синусоидальный ток, вызванный такой электродвижущей силой, равен

Сумма этих токов даст реакцию контура или цепи на электродвижущую силу Суммарный ток выражается равенством

Если полное сопротивление контура или эквивалентное полное сопротивление цепи выразить через модуль и фазовый угол

то формула (22) дает

Пример. Электродвижущая сила разложение которой в интеграл Фурье дано формулой (22), приложена к зажимам усилителя. Коэффициент его комплексного усиления дается выражением

Пусть функции, характеризующие изменение амплитуды и фазы представляют собой соответственно четную и нечетную функции от величины (и (рис. 2.12). Величина С на рисунке имеет размерность времени, можно трактовать как полуширину полосы пропускания.

Форма выходного сигнала усилителя может быть представлена формулой (24), аналогичной (23):

Рис. 2.12.

Если бы это был идеальный усилитель, то четная функция свелась бы к постоянной (усиление, не зависимое от частоты), а нечетная функция к линейной функции — (фазовый сдвиг пропорционален частоте). Разложим в ряд Фурье разности между идеальными и реальными функциями. Имеем

Тогда формула (24) принимает вид

Но известно (см. п. 7.5.11), что

Если подставить это разложение в предыдущую формулу, то мы в соответствии с (22) представим выходной сигнал с помощью членов вида

Таким образом, основной сигнал оказывается окруженным на расстояниях, кратных с, рядом паразитных сигналов.

Рис. 2.13.

Картина будет более наглядной, если мы ограничимся в каждом из рядов (для только первыми членами. Тогда остается только

(т. е. входной сигнал, запаздывающий на и умноженный на постоянный коэффициент) и еще сигналы вида

изображенные на схеме рис. 2.13.