7.6.9. Ортогональность полиномов Лежандра.
Вычислим интеграл
Согласно формуле (117), имеем 
Интегрируя по частям:
Внеинтегральный член равен нулю, так как производная 
порядка 
содержит множитель 
Продолжая интегрирование по частям, получим выражение
Следовательно, 
Отсюда вытекает, что интеграл
равен нулю, если 
полином степени, меньшей 
Если, в частности, 
полином Лежандра, то 
что и доказывает ортогональность полиномов Лежандра. Вычислим
Формула (117) позволяет написать
Интегрируем 
раз по частям. Заметив, что все внеинтегральные члены равны нулю, получим
Но
и
Отсюда
Функции, удовлетворяющие условиям Дирихле (п. 2.1.2), можно разложить в ряд по полиномам Лежандра:
Коэффициенты 
очевидно, равны
