5.4.5. Анализ эквивалентных цепей.

Дан двухполюсник, т. е. цепь, в которой различают входной и выходной зажимы. Требуется найти другой двухполюсник, имеющий при всех частотах приложенного к зажимам напряжения то же сопротивление, что и данный, т. е. характеристики обоих двухполюсников должны быть одинаковы. Это представляет некоторый практический интерес в случае, когда желательно заменить одну схему другой в целях упрощения или уменьшения стоимости производства.

Если при рассмотрении цепи принять за вспомогательные неизвестные контурные токи, то уравнения режима будут

Составляющие тензора, представленные элементами матрицы будут

так как имеются в виду только стационарные режимы. Эти составляющие будут либо собственными сопротивлениями, либо сопротивлениями связи при обходе рассматриваемого контура.

Матрица может быть рассмотрена как сумма трех слагаемых:

Матрицы являются соответственно тензорами сопротивлений, индуктивностей и величин, обратных емкостям (эластанцев).

Рис. 5.25.

Рассмотрим подробнее случай двухполюсника, образованного из пассивных контуров, соединенных цепочкой (рис. 5.25). Выберем в качестве вспомогательных неизвестных контурные токи, указанные на рисунке. Заменим этот двухполюсник другим той же конструкции (рис. 5.26). Составляющие векторов тока обоих двухполюсников связаны линейными соотношениями.

Так. как мы хотим, чтобы одному и тому же напряжению, приложенному между соответствовал один и тот же ток (условие необходимое,

чтобы двухполюсники были эквивалентны), то возможны лишь следующие линейные соотношения:

или, сокращенно,

Следовательно,

Это выражение разлагается на три следующих:

Матрица не определена. Ее составляющие полностью произвольны, кроме составляющих первой строки, которые обязательно равны

Рис. 5.26.

Практическая ценность задачи заключается в возможности искусным подбором коэффициентов аннулировать как можно большее число членов матриц таким образом, чтобы заменить сложный двухполюсник простым.

Рис. 5.27.

Рис. 5.28.

Пример. Дан двухполюсник, изображенный на рис. 5.27. Мы хотим заменить его другим, эквивалентным двухполюсником, представленным на рис. 5.28. Имеем

Матрица а в данном случае будет

Матрицы первого двухполюсника и второго равны

Мы должны определить коэффициенты таким образом, чтобы удовлетворялись равенства

т. е., подробнее, равенства

Следовательно, должны удовлетворять условиям:

Отсюда получаем

Подставляя эти значения в систему (22), легко вычислить Для конкретности обратимся к следующим численным значениям в мкгн,

Находим

Система (22) дает

Для проверки рассчитаем сопротивления обоих двухполюсников (рис. 5.27 и 5.28). Непосредственным вычислением находим одно и то же сопротивление

Замечание. В цепи, содержащей контуров, можно уменьшить количество элементов (индуктивностей, емкостей или сопротивлений) на единиц. Это и было выполнено в предыдущем примере. Однако может случиться, что уравнения системы [аналогичной системе (22)], которым должны удовлетворять окажутся несовместными. Кроме того, физически недопустимо рассматривать случай, когда они приводят к отрицательным значениям или